Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: доклад по физкультуре, реферат экологические проблемы
Добавил(а) на сайт: Гусин.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Пример. у=х2 . Вычислите производную для х=2.
Имеем: f(х+(х) = (х+(х)2 ,
Поэтому (у = (х+(х)2 – х2 = 2х(х+((х)2
Отсюда = 2х+(х
Переходя к пределу получим: = 2х + = 2х.
Для того, чтобы отношение имело предел, необходимо, чтобы , то есть, чтобы функция рис.1 была непрерывной в точке х0.
Рассмотрим график функции у = f(х) (рис.1)
Легко заметить, что отношение равно тангенсу угла (, образованного положительным направлением секущей, проходящей через точки А
и В (соответствующие точкам х и х+(х), с положительным направлением оси Ох, то есть, от А к В если теперь приращение (х будет стремиться к нулю, точка
В будет стремиться к А, то угол ( будет стремиться к (, образованному
положительным направлением касательной с положительным направлением оси Ох, а tg ( будет стремиться к tg (.
Поэтому = tg ( (положительным направлением касательной считаем то направление, в котором х возрастает).
Таким образом, можно утверждать следующее:
Производная в данной точке х равна тангенсу угла, образованного положительным направлением касательной в соответствующей точке (х,f(х)) нашей кривой с положительным направлением оси Ох.
1.2 Дифференциальные функции. Определение дифференциала.
Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение (у в этой точке можно представить в виде
(у = f’(х)(х+(((х)(х, где ( ((х) = 0
Как видно из из определения, необходимым условием дифференцируемости является существование производной. Оказывается что это условие также и достаточно. В самом деле пусть существуют у’ = f’(х)
Положим – f’(х), (х ( 0
0. , (х = 0
При таком определении ( имеет для всех (х
(у = f’(х)(х +(((х)(х .
Остаётся, следовательно, установить непрерывность (((х) при (х = 0, то есть, равенство ( ((х) = ((0) = 0, но, очевидно,
( ((х) = – f’(х) = f’(х) – f’(х) = 0, что и требовалось.
Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные.
Определение. Если функция у = f’(х) дифференцируема, то есть, если (у
= f’(х)(х + ( . (х, ( = 0, то главную линейную часть f’(х)(х, её приращения будем обозначать dху, dхf(х) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х.
Написав для симметрии dхх вместо (х, получим следующую формулу: dху = f’(х)dхх, откуда = f’(х).
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата