Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

Если теперь ( - общее решение системы (2), то имеем A( t = 0, следовательно, b = b + 0 = A(0t + A( t = A((0t +( t) = A((0 +( )t, т.е. сумма частного решения системы (1) и общего решения системы (2) является решением системы (1).

Таким образом, справедлива

Теорема. Общее решение совместной неоднородной системы (1) является суммой частного решения системы (1) и общего решения системы (2).

Поскольку общее решение однородной системы может быть записано в виде линейной комбинации ФСР, то получаем, что общее решение системы (1) можно записать в следующей параметрической форме:

( = (0 + (1(1 + (2(2 + . . . + (m(m, где (0 - какое-нибудь частное решение системы (1); (1, (2, . . . , (m -
ФСР системы (2),
(1, (2, . . . , (m - действительные параметры; m = n - r(A).

8. Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу

10. Корни многочлена.

Определение. Число c называется корнем многочлена f, если f(c)=0.

Другими словами, число c является корнем многочлена f, если a0cn + a1cn-1 + ... + an - 1c + an = 0.

Это равенство означает, что число c является корнем уравнения a0 xn + a1xn-1 + ... + an - 1 x + an = 0, при подстановке вместо x числа c получается верное равенство. Поэтому корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f(x) = 0 - это одно и то же.

Схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число c корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f(c).

Если требуется проверить несколько значений c, то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну - объединенную. Например, для многочлена f = 3x5 - 5x4 - 7x2 + 12 и чисел c = 1,-1,2 составляется таблица
| |3 |-5 |0 |-7 |0 |12 |
|1 |3 |-2 |-2 |-9 |-9 |3 |
|-1 |3 |-8 |8 |-15 |15 |-3 |
|2 |3 |1 |2 |-3 |-6 |0 |

Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы работает" только первая строка - строка коэффициентов многочлена f.

Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только c = 2 является корнем данного многочлена.

20. Теорема Безу.

Теорема Безу. Пусть f - многочлен, c - некоторое число.

1. f делится на двучлен x - c тогда и только тогда, когда число c является его корнем.

2. Остаток от деления f на x - c равен f(c).

Доказательство. Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f c остатком на x - c: f = (x - c)q + r; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x - c, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является числом - нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство f = (x - c)q + r значение x = c, мы получим f(с) = (с - c)q(с) + r = 0, так что действительно r = f(c), и первое утверждение доказано.

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f делится на x - c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f делится на x - c" означает то же самое, что и f(c) = 0. (

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если f(c) = 0, то f = (x - c)q, и остается решить уравнение q(x) = 0. Иногда этим приемом
- он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена. В частности, подобрав один корень кубического уравнения, можно его полностью решить - после понижения степени достаточно решить полученное квадратное уравнение.

Решим в качестве примера уравнение x4 - x3 - 6x2 - x + 3 = 0.

Целые корни многочлена f = x4 - x3 - 6x2 - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа (1 и

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.



Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки