Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: дипломы грамоты, реферат на тему общество
Добавил(а) на сайт: Aleksandra.
Предыдущая страница реферата | 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | Следующая страница реферата
Тогда произвольный многочлен f представим в виде произведения c[pic], где ai ( 0, pi ( ((k), c(k.
Указанное разложение однозначно определяется многочленом f и называется его каноническим разложением; число ai называется показателем pi в каноническом разложении.
Канонические разложения удобны для доказательства различных свойств делимости и вычисления НОД и НОК. Приведем важнейшие из них.
10. f := c[pic] делит g := d[pic] ( a1 ( b1, a2 ( b2, . . . , an ( bn.
Доказательство. Пусть g = fh, a1 > b1, h := e[pic]. Тогда b1 = a1 + c1
> b1, что невозможно. Обратное утверждение очевидно. (
20. Пусть имеются канонические разложения многочленов f и g: f = c[pic], g = d[pic].
Тогда
НОД(f, g) = [pic], НОК(f, g) = [pic], где ci = min (ai, bi), di = max (ai, bi).
Доказательство. Пусть ( = [pic] , где ci = min (ai, bi). Тогда по свойству 10 многочлен ( является делителем многочленов f и g и всякий общий делитель f и g делит многочлен (. Следовательно, ( = НОД(f, g).
Аналогично доказывается и второе утверждение. (
Из свойства 20 немедленно вытекает свойство
30. (Связь между НОД и НОК).
НОД(f, g) ( НОК(f, g) = f ( g.
10. Теорема о строении простого алгебраического расширения
10. Понятие минимального многочлена.
Пусть ( - алгебраическое число над полем k, т.е. корень ненулевого многочлена с коэффициентами из поля k.
Определение. Нормированный многочлен (((, k, x) над полем k называется минимальным многочленом числа (, если выполнены условия: а) ((x) - неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение многочленов положительной степени с коэффициентами из k; б) ((() = 0, т.е. ( - корень многочлена ((x).
Примеры.
|( |i |[pic] |[pic]- 1 |i + [pic] |
|(((, Q, x) |x2 + 1 |x2 - 5 |x2 + 2x - 1 |x4 - 4x2 + |
| | | | |16 |
20. Основные свойства минимальных многочленов.
1. Если f(x) ( k[x] и f(() = 0, то f(x) делится на минимальный многочлен ((х) числа (.
Доказательство. В самом деле, предположив, что f не делится на (, запишем f = (g + r, deg r < deg ( на основании теоремы о делении с остатком. Откуда r(()=0. Поскольку многочлены r и ( взаимно просты, то у них не может быть общих корней - противоречие.
2. Допустим, что ( - алгебраическое число, а g(x) - нормированный
многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x) ( k[x] и g(() =
0. Тогда g(x) - минимальный многочлен числа (.
Доказательство немедленно вытекает из свойства 1.
3. Минимальный многочлен алгебраического числа ( над данным полем определен однозначно.
Для доказательства достаточно применить свойство 2.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.
Предыдущая страница реферата | 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | Следующая страница реферата