Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

2. Группы подстановок S(X) и Sn, действующих на множестве X, в частности, на множестве {1, 2, . . . , n}.

3. Группы движений геометрических фигур. Пусть Ф - какая-нибудь геометрическая фигура на плоскости, O(Ф) - множество движений плоскости, переводящих фигуру Ф на себя. Множество O(Ф) относительно операции композиции (последовательного выполнения) движений является группой.
Элементы множества O(Ф) часто называются симметриями фигуры Ф.

Рассмотрим, например, группу симметрий правильного треугольника.

[pic]
Группа симметрий правильного треугольника состоит из шести элементов: трех отражений (, (, ( относительно высот треугольника ( - отражение относительно AO, ( - BO, ( - CO; и трех вращений с центром с точке O на углы 0, [pic]; их удобно обозначить (, (, (. Для описания умножения элементов группы (G, () можно использовать так называемую таблицу Кэли
(таблицу умножения группы).

Для группы симметрий правильного треугольника таблица Кэли имеет вид:
| |( |( |( |( |( |( |
|( |( |( |( | | | |
|( |( |( |( | | | |
|( |( |( |( | | | |
|( | |( | |( |( |( |
|( | | | |( |( | |
|( | | | | | |( |

Заметим, что вращения перемножаются по правилу (2 = (, (3 = (. Далее, квадрат любого отражения равен (.

Легко проверить, что(( = (, (( = (. Кроме того, (( = (.

Остальные произведения в таблице легко восстановить, используя, например, групповую структуру операции. В частности, имеем:

(( =(((() = (2( = (( = (;

(( =(((() = ((()( = (2 = (.

4. Группы геометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов.

5. Матричные группы. Укажем на две важнейшие матричные группы:

GLn(R) - полная линейная группа (группа обратимых матриц),

SLn(R) - специальная линейная группа

(группа матриц с единичным определителем),

30. Арифметика группы: обратные элементы, степени с целым показателем.

При описании таблицы Кэли группы симметрий правильного треугольника мы использовали так называемые арифметические свойства элементов группы.
Отметим важнейшие из них в следующей теореме.

Теорема. Пусть (G,() - группа. Тогда для ее элементов справедливы равенства:

(а) (xy)(zt) = x(y(zt) = ((xy)z)t;

(б) (xy)-1 = y-1x-1;

(в) (xp)q = xpq; xpxq = xp+q для любых целых p, q.

Доказательство. Проверим только пункт (б). Имеем:

(xy)(y-1x-1) = x(yy-1)x-1 = x(1)x-1 = 1,

(y-1x-1)(xy) = y-1(x-1x)y = y-1(1)y = 1; откуда и получаем требуемое утверждение. (

40. Решение в группах линейных уравнений. В качестве применения простейших свойств приведем следующий простой результат.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки