Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

(2’)

Это число в геометрии называют скалярным произведением векторов и и обозначают (x,y). Заметим, что длина произвольного вектора x выражается через скалярное произведение. А именно, в случае плоскости

а в случае пространства

Вышеприведенный ход рассуждений взят из книги [1] и является своего рода образцом. Отмечу еще раз, что скалярное произведение вводится на основе теоремы Пифагора, а не наоборот, как иногда пытаются доказать ленивые студенты.

К основным свойствам скалярного произведения относят:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

При любом обобщении, как пишут Кантор и Солодовников, понятия скалярного произведения на n - мерный случай желательно, чтобы свойства 1) - 4) сохранили силу. Ввиду этого примем следующее определение.

Определение. Будем говорить, что в n - мерном векторном пространстве An задано скалярное произведение, если каждым двум векторам x и y сопоставлено некоторое действительное число - обозначим его (x,y) - так, что выполнены свойства 1), 2), 3), 4). Число (x,y) будем называть скалярным произведением вектора x на вектор y.

В более общем виде скалярное произведение определяется как

где - базисные вектора.

Величины

являются постоянными числами, зависящими только от выбранного базиса. Таким образом, если выбран базис, то

Вышеприведенное классическое определение скалярного произведения сыграло в математике своего рода роль фундамента, причем весьма прочного и основательного. И к большому сожалению такой подход не дал результатов в финслеровых геометриях, когда величина вектора определяется не через билинейную форму, а через n - линейную.

2. Геометрическая трактовка проекции.

Для введения определения скалярного произведения в форме, допустимой к использованию, рассмотрим принцип формирования проекции и попробуем ее формализовать. Обратим внимание на обычные вектора в 2-х или 3-х мерном пространстве.

Проекцией назовем величину, равную расстоянию от начала координат до точки пересечения вектора A с перпендикуляром, построенным на него из точки B. Теперь представим себе, что пространство - это пространство компонент гиперкомплексного числа, и значит построить перпендикуляр мы пока не можем, поскольку это понятие еще не определено.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовые работы, реферат бесплатно на тему.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки