Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

розв'язком якої буде вже будь-яке ціле число. Вона, по суті, перетворюється в конгруенцію 0 ≡ 0 (mod 5).

Конгруенції виду 0 ≡ 0 (mod 5) мають очевидно розв'язком будь-яке ціле значення невідомого х, тобто є тотожною конгруенцією.

Після наведеного щойно прикладу виникає питання, коли множення обох частин конгруенції з невідомою величиною на ціле число є законним? Відповідь на це дає теорема 2.

Теорема 2. Якщо обидві частини  конгруенції (1) помножити на ціле число k, взаємно просте з модулем т, то дістанемо конгруенцію, еквівалентну даній.

Справді, припустимо, що

х = α (mod т)

є який-небудь розв'язок конгруенції (1), тоді

f (α) ≡ 0 (mod m).

Помножаючи  обидві  частини  цієї  конгруенції  на k,   дістанемо:

k∙f (α) ≡ 0 (mod m).                                         (2)

Отже, ми бачимо, що α є розв'язком конгруенції

k∙f (x) ≡ 0 (mod m).                                         (3)

Навпаки, якщо α — розв'язок конгруенції (3), тобто k∙f (α) ≡ 0 (mod m), тоді обидві частини конгруенції (2) можна скоротити на k, не змінюючи  модуля,  бо (k,  m) = 1,   (див.  властивість 4, п.1.1), отже,

f (α) ≡ 0 (mod m),

тобто α є розв'язком конгруенції (1), що і доводить наше твердження.

Зауважимо, що при розв'язуванні конгруенцій з невідомою величиною можна, не змінюючи модуля, скорочувати обидві частини конгруенції тільки на такий їх спільний дільник, який є взаємно простий з модулем (див. властивість 4, п.1.1).

2.2. Конгруенції n-го степеня за простим модулем.

У попередньому параграфі ми бачили, що дослідження й розв'язання конгруенції п-го степеня (п≥1) зводиться кінець кінцем до дослідження і розв'язання відповідних конгруенцій за простими модулями. Тому зараз доведемо деякі загальні теореми, що стосуються конгруенцій n-го степеня за простим модулем р.

Припустимо, що задано конгруенцію[1] :

f (х)= а0хп + а1хп-1 + . . . + аn-1x + an ≡ 0 (mod p), n≥1,           (1)

де a0≠0 (mod p) і р — просте число.

Теорема 1. Конгруенцію (1) завжди можна так перетворити що її старший коефіцієнт дорівнюватиме одиниці.

Справді, через те що р — просте і a0 не ділиться на р, то завжди існує єдине число α, що а0α ≡ 1 (mod p). Помноживши тепер конгруенцію (1) на α і замінивши а0x одиницею, дістанемо еквівалентну   конгруенцію з старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці:

xn + b1xn-1+ .. + bn-1x + bn ≡ 0 (mod p);                      (1')

тут bi ≡ aiα (mod p).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпаргалки по гражданскому, організація реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки