ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА  - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций  относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

   Суммой a+b векторов a  и b  называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

   a+b=b+a                (коммутативность)

       (а+b)*с=а*(b+с)   (ассоциативность)

       a + 0=a                   (наличие нулевого элемента )

       a+(-a)=0                 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют  вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

 l*(a+b)= l*a+l*b   (дистрибутивность относительно сложения векторов)          

(l+u)*a=l*a+u*a     (дистрибутивность относительно сложения чисел)

 l*(u*a)=(l*u)*a      (ассоциативность)

 1*a=a                        (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной  алгебре  важное  значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются  линейно   зависимыми   векторами, если существуют числа  a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

aa+bb+…gc=0.      (1)

  Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g  равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

a=a1e1+a2e2+a3e3.

Числа  a1,a2,a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}.

Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности  векторов  a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1=lb1,a2=lb2,a3=lb3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3}  и c={c1,c2,c3}  является равенство :

|  a1 a2 a3 |

      |  b1 b2 b3| = 0

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки