Рефераты | Рефераты по математике | Вычисление многочленов — от Ньютона до наших дней |
Общепринятый сейчас способ вычисления многочленов восходит к Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная (то есть применимая к любому многочлену) схема предельно проста и изящна. Она получается из формулы (1) вынесением за скобки x всюду, где это возможно:
|
f (x) = (...(((x + a1)·x + a2)·x + a3)...)·x + an. |
(2) |
Порядок действии при вычислении f (x) определяется скобками в (2): сначала сложение внутри самой внутренней пары скобок (его результат обозначим через p1), затем умножение и сложение внутри следующей пары скобок (результат p2) и т.д.:
|
(3) |
всего n–1 умножений и n сложений 2 .
Схема Горнера настолько совершенна, что вопрос о возможности её улучшения не возникал два с половиной века и был задан «вслух» впервые лишь в 1954 году! Постановка этого вопроса (ответ на него предполагался отрицательным) имела важные и неожиданные последствия.
|
|
— Вы позволите мне записать эту романтическую историю, сэр? — спросил потрясенный мистер Снодграсс. — Сколько угодно, сэр, сколько угодно, ещё пятьдесят таких, если они вам по вкусу. Ч. Диккенс |
Уже в курсе школьной алгебры мы встречаемся с примерами многочленов, для которых существуют необычайно экономные схемы; единственный их недостаток — они не универсальны.
Сравнивая разные схемы по числу операций, мы будем объединять операции сложения и вычитания в группу «(+, –)-операций», а гораздо более трудоёмкие операции умножения и деления — в группу «(×, :)-операций». 3
Примеры.
