Абстрактная теория групп
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: доклад на тему животные, сочинения по литературе
Добавил(а) на сайт: Rudov.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 | Следующая страница реферата
Все эти классы состоят из 2 элементов.
Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:
, 
, 
, 
.
В то же время,
, 
, 
.
Теорема Лагранжа.
Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.
Доказательство.
По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: 
. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, 
, откуда и вытекает теорема.
Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом
подгруппы 
.
Следствие.
Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.
В самом деле, если 
эти подгруппы, то 
их общая подгруппа и по теореме Лагранжа 
- общий делитель порядков H и K то есть 1.
Пусть любая подгруппа и 
-любой
элемент. Тогда 
также является подгруппой
G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения 
является изоморфизмом. Подгруппа 
называется сопряженной по отношению к подгруппе H.
Определение.
Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: 
.
Равенство 
можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.
Примеры.
В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно. В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа
и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется
простой.
В рассмотренной выше группе 
подгруппа 
не является нормальной
так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут
подгруппы 
и 
.
Если - любая подгруппа,
то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех
ее элементов z 
. В частности,
центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.
Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса :
H и Hg = G-H = gH.
Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).
Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть 
.
Доказательство.
Очевидно, что для любой подгруппы H HH=H.Но тогда
Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс 
. Поскольку 
, всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.
Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых, шпори политология.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 | Следующая страница реферата