
Аксиоматика теории множеств
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: рефераты бесплатно, банки курсовая работа
Добавил(а) на сайт: Kasperskij.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата
Xn
обозначает Xn-1 X (в частности, Vn обозначает класс всех
упорядоченных n-ок).
Rel(X)
служит сокращением для Х V2 (X есть
отношение).
2.
Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме
о существовании классов и на основании аксиомы объемности,
1Z
x (x
Z
x
Y). Таким
образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества
класса Y.
Определение.
x (x
P (Y)
x
Y). (P (Y):
класс всех подмножеств класса Y.)
3.
Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X
v & v
Y).
По
теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,
1Z
x (x
Z
v (x
v & v
Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.
Определение.
x (x
(Y)
v (x
v & v
Y)). (
(Y):
объединение всех элементов класса Y)
4.
Пусть φ (X) есть u (X =
). По теореме
о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует
единственный класс Z такой, что
x (x
Z
u (x =
)).
Определение.
x (x
I
u (x =
)). (Отношение
тождества.)
Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)
1W( W
Vn &
x1…
xn (
W
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство.
В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1…
xn (
Z
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым
классом W является класс W = Z ∩ Vn; его единственность вытекает из
аксиомы объемности.
Определение.
Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ
(x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок
, удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е.
u (u
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)
x1…
xn (u =
& φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))).
Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим
u (u
φ (x, Y1, …, Ym)
φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо
φ
(x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Примеры.
1. Пусть φ есть Y. Обозначим
(
Y) сокращенно
через
, тогда
V2 &
x1
x2(
Y
Y). Назовем
обратным отношением класса Y.
2.
Пусть φ есть v (
Y). Обозначим
через R(Y) выражение
(
v (
Y)). Тогда
u (u
R(Y)
v (
Y)). Класс
R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно,
R(Y) = D(
).
Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.
А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)
x
y
u (u
y
v (u
v & v
x)).
Эта
аксиома утверждает, что объединение (х) всех
элементов множества х является также множеством, т. е.
x (M(
(х))).
Множество и
(х) обозначают
также через и
v.
Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.
А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)
x
y
u (u
y
u
x).
Эта
аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также
множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества х. В силу
этой аксиомы,
x (M(P (х))).
Примеры.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспекты статей, изложение с элементами сочинения.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата