Алгебраические расширения полей
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат мировые войны, культурология
Добавил(а) на сайт: Меркурия.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.
Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.
Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.
Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., an, т. е. существуют в P такие элементы с0, с1,…,cn не все равные нулю, что с0×1+ с1a+…+cn an = 0.
Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.
Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.
2.2. Составное алгебраическое расширение поля.
Расширение F поля P называется составным, если существует
возрастающая цепочка подполей L i поля F такая, что
P = L0 — L1 —…— Lk= F и k>1.
Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и
[F : P] = [F : L]@[ L : P].
Доказательство. Пусть
(1) a1,…,am — базис поля L над P (как векторного пространства) и
(2) b1,…,bn — базис поля F над L . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:
(3) d = l1b1+...+lnbn (lk 0L).
Коэффициенты 1k можно линейно выразить через базис (1):
(4) lk = p1k a +…+ pmk am (pik0P).
Подставляя выражения для коэффициентов lk в (3), получаем
d = å pik aibk.
i0{1,…,m}
k0{1,…,n}
Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где
B = { a ibk½{1,..., m}, k 0 {l,..., n}}.
Отметим, что множество B состоит из nm элементов.
Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата