Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

(5) åcikaibk = 0,

 I,k

где cik 0 P. Так как система (2) линейно независима над L , то из (5) следуют равенства

(6) с1ka 1+...+сmka m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a 1, ..., a m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства

c1k = 0,…,cmk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F , P] = nm = [F: L]×[L: P]. Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I).  

Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P = L0 — L1 —…— Lk= F и k>1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L i является простым алгебраическим расширением поля  L i-1. Число k называется длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение F поля P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть a1,..., ak — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a1,..., ak) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L 0 = P, L 1 = P [a1], L 2= P [a1, a2,],..., L k = P [a1 ,..., ak].

Тогда L1 = P [a1] есть простое алгебраическое расширение поля L0; L2 есть простое алгебраическое расширение поля L1 , так как

L2 = P [a1,a2] = (P [a1])[a2] = L1[a2] = L1(a2) и т. д.

Таким образом,

P = L0 — L1 —…— Lk= F

где Li = Li-1(ai ) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле F является составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конечным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P —L — F , причем L = P(a), F = L(b) и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над P соответственно для чисел a и b и deg f = m, deg g = n. Полиномы f и g неприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле E комплексных чисел кратных корней. Пусть

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки