Алгебраические расширения полей
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат мировые войны, культурология
Добавил(а) на сайт: Меркурия.
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата
Определение. Поле A = +А, +, —, •, 1, называется полем алгебраических чисел.
Пример.
Показать, что число a=
является алгебраическим.
Решение.
Из a= следует a-
.
Возведем обе части последнего равенства в третью степень:
a3-3a29a-3
=2
или
a3
+9a-2=3(a2+1).
Теперь обе части равенства возводим во вторую степень:
a6+18a4+81a2-4a3-36a+4=27a4+54a2+27
или
a6-9a4-4a3+27a2-36a-23=0.
Таким образом a является корнем многочлена
f(x)= a6-9a4-4a3+27a2-36a-23=0
с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.
2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.
Теорема 2.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
Доказательство. Пусть A [x] — кольцо полиномов от x над полем A алгебраических чисел. Пусть
f = а0 + а1x+... + аnхn (а0 ,…, аn 0 A)
— любой полином положительной степени из A[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f0C[x] и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с, что f(с) = 0. Пусть L= Q(а0, ..., аn) и L (с) — простое алгебраическое расширение поля L с помощью с. Тогда Q —L — L (c) есть конечное алгебраическое расширение поля L. По теореме 2.2, L есть конечное расширение поля Q. В силу теоремы 2.3 L (с) является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L (с) является алгебраическим расширением поля Q и, значит, c0A. Таким образом, любой полином из A[x] положительной степени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраически замкнуто.
3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.
Пусть D — поле.
Выясним, может ли неразложимый в D[x] многочлен обладать кратными корнями?
Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f(x) и fN(x) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D[x]. Если многочлен f(x) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f(x) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '(x) = 0.
Положим
n n
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата