Предыдущая страница реферата | 15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 | Следующая страница реферата



Решение. Пользуясь тем, что эта задача уже была решена, рассмотрим сразу систему

Рассмотрим функцию  при . Отметим, что эта функция обратима и обратной к ней является . Так как функция возрастающая, то общие точки лежат на прямой . Получаем . Решение которой нам известно.

Ответ. .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим функцию  и  они взаимно обратные и возрастающие. Тогда  равносильно исходному.

Ответ. .

Пример. Для  решить уравнение .

Решение. Очевидно , то . Рассмотрим функцию . Она возрастает на . Следовательно, при  эта функция обратима, причем функция  является для нее обратной. Отсюда . Заметим, что мы использовали функцию, стоящую в правой части уравнения, потому что такой выбор не изменяет область определения первоначального уравнения. Решение же уравнения приведено было выше.

Ответ. .

Графический метод. Координатная плоскость (x;y)

Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра.

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной  от параметра .

На плоскости  функция  задает семейство кривых зависящих от параметра . Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым семейства (см. [1], [4], [5], [8], [9], [11], [16]).

Параллельный перенос

Пример. Для каждого значения параметра  определить число решений уравнения .

Решение. Построим график функции .

Рассмотрим . Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ. Если , то решений нет;

если , то 3 решения;

если , то 2 решения;

если , 4 решения.

Поворот

Сразу следует отметить, что выбор семейства кривых не отличается однообразием (в отличие от самих задач), а точнее он один: во всех задачах  - прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой.

Пример. При каких значениях параметра  уравнение  имеет единственное решение?

Решение. Рассмотрим функцию  и . График второй функции – это полуокружность с центром в точке с координатами  и радиусом =1 (рис. 2).

, дуга АВ.

Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициэнты ОА и ОВ равны соответственно  . Угловой коэффициент касательной равен . Легко находится из системы

Итак, прямые семейства  имеют с дугой только одну общую точку при .

Ответ. .

Пример. При каких  уравнение  имеет решение?

Решение. Рассмотрим функцию . Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке  и убывает на . Точка  - является точкой максимума.

Функция же  - это семейство прямых, проходящих через точку . Обратимся к рисунку 2. Графиком функции  является дуга АВ. Прямые , которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число , а ОВ — .

Ответ. При  уравнение имеет 1 решение;

при остальных значениях параметра решений нет.

Гомотетия. Сжатие к прямой

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет ровно 8 решений.

Решение. Имеем . Рассмотрим функцию . Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами , второе семейство прямых параллельных оси абсцисс.

Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше  и меньше , то есть . Заметим, что  есть .

Ответ.  или .

Графический метод. Координатная плоскость (x;a)

Вообще, уравнения, содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем

Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: .

В координатной плоскости xOa строим график функции .

Рассмотрим прямые  и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции , б) пересекает график функции  в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость . Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом купить, allbest.

Предыдущая страница реферата | 15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки