Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: доклад по информатике, реферати
Добавил(а) на сайт: Ермишин.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
[pic] (6)
разрешая систему (6) относительно [pic] и [pic], находим систему уравнений:
[pic]
(7)
Система дифференциальных уравнений (7) эквивалентна рассматриваемой исходной системе (4) или, что то же самое, уравнению (1) .
Из системы (7) видно, что медленные и быстрые движения для [pic] разделены.
Усредняя правые части системы (7) мы получим (8):
[pic]
(8)
где принято обозначение [pic]
Таким образом, «укорочёнными уравнениями» для системы (7) являются уравнения (3), где
[pic] (9)
Уравнения (8) будем называть укороченными уравнениями или уравнениями
Ван-дер-Поля. Они значительно проще исходной системы (7), поскольку первое
уравнения может быть проинтегрировано независимо от второго. В системе (8)
медленные и быстрые движения для [pic] разделены.
Интегрируя первое из уравнений этой системы, мы находим закон изменения амплитуды. Очень часто в прикладных задачах бывает достаточно найти только зависимость амплитуды от времени. В рассматриваемой теории для этого достаточно найти решение уравнения первого порядка (в общем случае нелинейного).
Определение фазы сводится к квадратурам. Наибольший интерес обычно представляет не сама фаза, а скорость ее изменения в зависимости от амплитуды. Ответ на этот вопрос дает непосредственно второе уравнение системы (8).
Итак, метод Ван-дер-Поля решения уравнения (1) состоит в переходе от переменной х и y к переменным а и [pic](которые мы будем называть переменными Ван-дер-Поля) и к замене точных уравнений (7) укороченной системой (8).
Система (8) позволяет найти возможные стационарные
(автоколебательные) режимы, т.е. режимы, при которых амплитуда остается
неизменной. Полагая [pic], находим, что стационарная амплитуда должна быть
корнем трансцендентного уравнения
[pic]
(10)
Заметим, что уравнение (10) совпадает с одним из тех уравнений, которое мы получили бы, если бы рассматривали уравнение (1) как квазилинейное и разыскивали периодические решения методом Пуанкаре.
Трансцендентное уравнение (10) может совсем не иметь действительных решений. Это будет означать, что в системе стационарные колебания невозможны. Уравнение (10) может иметь одно или несколько решений, в случаях консервативных систем оно удовлетворяется тождественно. В самом деле, в этом случае функция f зависит только от переменной x, поэтому уравнение (10) примет вид:
[pic]
(10а)
Так как [pic], то под знаком интеграла стоит полный дифференциал:
[pic]
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: изложение ломоносов, новшество.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата