Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат г, контрольная 1
Добавил(а) на сайт: Яснеев.
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата
Если пластинка однородна, т.е. [pic] то формулы упрощаются :
[pic] где S
- площадь пластинки.
в) Моменты инерции пластинки.
Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой- либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.
Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что [pic]:
[pic]
Отметим еще, что интеграл [pic] называется центробежным моментом инерции; он обозначается [pic].
В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен
[pic]
4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
а) Объём.
Как мы знаем, объем V тела, ограниченного поверхностью [pic], где
[pic]- неотрицательная функция, плоскостью [pic] и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции
[pic] по области D :
[pic]
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).
[pic] [pic]
Рис.17
Рис.18
Решение. [pic] D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1.
Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем: [pic]
Итак, [pic] куб. единиц.
Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью [pic] а снизу—поверхностью [pic], причем проекцией обеих поверхностей на плоскость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верхним - поверхность [pic] второе тело имеет нижним основанием также область D, а верхним - поверхность [pic] (рис.18).
Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная 2, матершинные частушки.
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата