Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат г, контрольная 1
Добавил(а) на сайт: Яснеев.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Теорема существования двойного интеграла.
Если функция [pic]непрерывна в области D, ограниченной замкнутой линией, то её n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т.е. двойной интеграл [pic], не зависит от способа разбиения области D на частичные области[pic] и от выбора в них точек Pi.
Двойной интеграл, разумеется, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной функции и области интегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования, так что, например,
[pic].
Далее мы убедимся а том, что вычисление двойного интеграла может быть произведено посредством двух обыкновенных интегрирований.
2.Вычисление двойных интегралов.
При вычислении двойного интеграла [pic] элемент площади [pic] нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования
D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области [pic] будет равна произведению соответствующих [pic] и [pic]. Поэтому элемент площади [pic] мы запишем в виде [pic] т.е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем
[pic]. (*)
При вычислении двойного интеграла (*) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью [pic]. Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу
[pic] (**)
[pic]
Рис.3 где S(х) - площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а [pic] и [pic]- уравнения плоскостей, ограничивающих тело. Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла
[pic]
Предположим сначала, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая, параллельная оси Ox или Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рис.3
Область D заключим внутрь прямоугольника
[pic] стороны которого касаются границы области в точках А, В, С, Е.
Интервал [а, b] является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а интервал [c, d] - ортогональной проекцией области D на ось Oy. На рис.5 область D показана в плоскости Оху.
Точками A и C граница разбивается на две линии: ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси Oy, в одной точке. Поэтому, их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно y:
[pic] (ABC),
[pic] (AEC).
Аналогично точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ и ВСЕ, уравнения которых можно записать так:
[pic] (BAE),
[pic] (BCE).
[pic]
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная 2, матершинные частушки.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата