Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат г, контрольная 1
Добавил(а) на сайт: Яснеев.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Рис.5
Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости Oyz, т.е. x=const, [pic] (рис). В сечении мы получим криволинейную трапецию PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции [pic], рассматриваемой как функция одной переменной у, причем у изменяется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P есть точка входа прямой х =const (в плоскости Оху) в область D, а R - точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий
АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соответственно равны [pic] и [pic].
Следовательно, интеграл
[pic]
дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):
[pic]
Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интегралу от
S(x) в интервале изменения [pic].( При выводе формулы (**) мы считали, что S(*) есть геометрическая площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая
[pic]. Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно доказать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций.
Заменяя в этой формуле S(x) её выражением, окончательно получим
[pic] или в более удобной форме
[pic] (А)
Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают границы, в которых может изменяться аргумент х.
Меняя роли х и у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями y=const [pic], мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна
[pic], где у при интегрировании считается величиной постоянной.
Интегрируя затем Q(у) в пределах изменения у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла
[pic] (Б)
Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у.
.Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части формул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными) интегралами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования - приведением двойного интеграла к повторному.
Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобретают особенно простой вид, когда область D является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае становятся постоянными пределы не только внешнего, но и внутреннего интегралов:
[pic]
В других случаях для сведения двойного интеграла к повторному необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис.
Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее, и расставить пределы интегрирования.
Поясним на примерах, как производится расстановка пределов интегрирования.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная 2, матершинные частушки.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата