Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Курсовая работа по курсу «Математика»

Кировоград 2004

Вступление

Элементы математического анализа занимает значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся овладевают математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Иными словами, введение нового математического аппарата позволяет рассмотреть ряд задач, решить которые нельзя элементарными методами. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается.

Многие традиционные элементарные задачи (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений и другие) эффективно решаются с помощью понятий производной и интеграла. Школьные учебники и учебные пособия мало уделяют внимания этим вопросам. Вместе с тем нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.

Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной и интеграла дает как правило более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.

Методы математического анализа используются не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики.

Раздел 1. Некоторые применения производной

1.1. Применение производной при решении неравенств

Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.

Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

Если точка x0 является точкой экстремума для функции f и в этой точке существует производная, то f/(x0)=0. В точке экстремума функция может не иметь производную. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Чтобы установить, имеет ли функция в данной критической точке экстремум, пользуются следующими достаточными признаками существования экстремума.

Если функция f непрерывна в точке x0 и существуют такие точки a, b, что f/(x0)>0 (f/(x0)<0 ) на интервале (a,x0) и f/(x0)<0 (f/(x0)>0 ) на интервале (x0,b), то точка x0 является точкой максимума (минимума) функции f.

Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка [a,b].

Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.

Пусть, например, требуется доказать, что на некотором промежутке имеет место неравенство f(x)³g(x). Обозначим f(x)-g(x) через F(x). С помощью производной F/(x) находим наименьшее значение F на данном промежутке. Если оно неотрицательно, то во всех точках рассматриваемого промежутка F(x)³0, т.е.

f(x)³g(x).

Задача 1.1. Доказать что (e+x)e-x>(e-x)e+x для 0<x<e.

Решение.

Данное неравенство равносильно следующему: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Пусть f(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

тогда  f/(x)=-ln(e+x)+(e-x)/(e+x)-ln(e-x)+(e+x)/(e-x).

Так как (e-x)/(e+x)+(e+x)/(e-x)=2(e2+x2)/(e2-x2)>2,

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e2-x2)<lne2=2,

то f/(x)>0 при 0<x<e. Следовательно, функция f возрастает на интервале (0,e). Функция f(0) – непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в промежуток возрастания. Поскольку f(0)=0, а f возрастает при 0£x<e, то f(x)>0 при 0<x<e. Отсюда получаем решение задачи 1.

Задача 1.2. Доказать неравенство tgka+ctgka³2+k2cos22a, 0<a<p/2, k–натуральные.

Решение.

Неравенство можно записать в виде: (ctgk/2a–tgk/2a)2³k2cos22a.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом управление, бесплатные тесты.



1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки