Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: новые сочинения, сочинение на тему
Добавил(а) на сайт: Hudjakov.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
На k-м шаге метода среди коэффициентов aij(k–1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, …, n выбирают максимальный по модулю коэффициент aikjk(k-1). Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное xjk из уравнений с номерами i = k + 1, …, n.
На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: xjn, xjn–1, …, xj1.
1.2. Метод Зейделя
1.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений
Ax = b с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду
x = Bx + c.
Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, j = 1, 2, …, n), c – вектор-столбец с элементами cij (i = 1, 2, …, n).
В развернутой форме записи система имеет следующий вид:
x1 = b11x1 + b12x2 + b13x3 + … + b1nxn + c1 x2 = b21x1 + b22x2 + b23x3 + … + b2nxn + c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . xn = bn1x1 + bn2x2 + bn3x3 + … + bnnxn + cn
Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.
Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1:
x1 = a11–1 (b1 – a12x2 – a13x3 – … – a1nxn),
из второго уравнения – неизвестное x2:
x2 = a21–1 (b2 – a22x2 – a23x3 – … – a2nxn),
и т. д. В результате получим систему
x1 = b12x2 + b13x3 + … + b1,n–1xn–1 + b1nxn+ c1 , x2 = b21x1 + b23x3 + … + b2,n–1xn–1 + b2nxn+ c2 , x3 = b31x1 + b32x2 + … + b3,n–1xn–1 + b3nxn+ c3 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . xn = bn1x1 + bn2x2 + bn3x3 + … + bn,n–1xn–1 +
cn ,
в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы.
Остальные элементы выражаются по формулам
bij = –aij / aii, ci = bi / aii (i, j = 1, 2, …, n, j ? i)
Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.
1.2.1. Описание метода. Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы
0 0 0 … 0 0 b12 b13 … b1n b21 0 0 … 0 0 0 b23 … b2n
B1 = b31 b32 0 … 0 , B2 = 0 0 0 … b3n
. . . . . . . . . . . . . . bn1 bn2 bn3 … 0 0 0 0 … 0
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать доклад на тему, отчет по практике.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата