Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Заметим, что B = B1 + B2 и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству

x = B1x + B2 x + c .

Выберем начальное приближение x(0) = [x1(0), x2(0), …, xn(0)]T.
Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B2 и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение

x(1) = B1x(0) + B2x(1)

Подставляя приближение x(1), получим

x(2) = B1x(1) + B2x(2)

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x(0), x(1), …, x(n), … приближений к вычисляемых по формуле

x(k+1) = B1(k+1) + B2(k) + c

или в развернутой форме записи

x1(k+1) = b12x2(k) + b13x2(k) + … + b1nxn(k) + c1 , x2(k+1) = b21x1(k+1) + b23x3(k) + … + b2nxn(k) + c2 , x3(k+1) = b31x1(k+1) + b32x2(k+1) + … + b3nxn(k) + c3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . xn(k+1) = bn1x1(k+1) + bn2x2(k+1) + bn3x3(k+1) + … + cn .

Объединив приведение системы к виду, удобному для итераций и метод
Зейделя в одну формулу, получим

xi(k+1) = xi(k) – aii–1(Sj=1i–1 aijxj(k+1) + Sj=1n aijxi(k) – bi).

Тогда достаточным условием сходимоти метода Зейделя будет

Sj=1, j?i n | aij | < | aii |

(условие доминированния диагонали).

Метод Зейделя иногда называют также методом Гаусса-Зейделя, процессом
Либмана, методом последовательных замещений.

1.3. Сравнение прямых и итерационных методов

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще использют прямые методы.

Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограниченииий в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения черезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы уравнений, возникающие в основном в приложениях, как правило являются разреженными. Методы исключения для систем с разреженным и матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использованнии итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связанна с возможностью существенного использования разреженности матриц.

Применение итерационных методов для качественного решения большой системы уравнений требует серьезного использования ее структуры, специальных знаний и определенного опыта.

2. Практическая часть

2.1 Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса

2.1.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 ,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать доклад на тему, отчет по практике.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки