Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

 Теорема 1. Для того чтобы множество Х было счётным необходимо и достаточно, чтобы его можно было «перенумеровать», то есть представить в форме последовательности:

Х={x, x, x, . . . ,x, . . . } .

Доказательство необходимости: Пусть множество Х счетное, то из определения счётного множества следует существование взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N. Достаточно обозначить через х, тот из элементов множества Х, который в соответствии с j отвечает числу n,чтобы получить представление множества Х в форме (*).

Доказательство достаточности: Если множество Х представлено в форме (*), то достаточно каждому его элементу х, соотнести индекс n этого элемента, чтобы получить взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N, так что из определения счётного множества следует, что множество Х счётное.

Следующая теорема даёт интересный пример счётного множества.

Теорема 2. Рациональные числа R образуют счётное множество.

Доказательство: Рассмотрим сначала рациональные неотрицательные числа. Расположим их в бесконечную таблицу следующим образом: в первую строчку поместим в порядке возрастания в целые числа 0, 1, 2, . . . ; во вторую – все положительные несократимые дроби со знаменателем 2, упорядоченные по величине числителя; вообще в n-ую строчку, n=1, 2, 3, …, - все положительные рациональные числа, записывающиеся несократимой со знаменателем n, упорядоченные по величине числителя. Очевидно, что каждое рациональное неотрицательное число попадёт на какое-то место в получившейся  таблице;

1  2  3  4  . . .

     . . .

      . . .

  . . . . . . . . . . . .

 . . . . . . . . . .

Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов, стрелка указывает направление нумерации).

                                                       . . .

                                                     

                                                   .    . . .

                       .     .    . . .

    

               .       .     .    . . .

 В результате все рациональные неотрицательные числа оказываются занумерованными, то есть мы доказали, что они образуют счётное множество.

  Чтобы убедится, что и множество всех рациональных чисел также счётно, достаточно их записать в подобную же таблицу. Это можно сделать, например, поместив в написанную выше таблицу после каждого положительного рационального числа х в туже строчку число - х.                            

1 -1  2 -2 . . .

 -- . . .

                                                               -- . . .

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат поведение, технические рефераты.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки