Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

- 5 -

V. Используя доказанные выше теорем можно привести другое доказательство теоремы 2 отличное от предыдущего.

Доказательство теоремы 2: Множество дробей вида  с данным знаменателем q, то есть множество . . . , очевидно счётное. Но знаменатель может принять также

счётное множество натуральных значений 1, 2, 3, . . .  . Значит в силу теоремы 8, множество дробей вида  является счётным множеством; удаляя из него все сократимые дроби и применяя теорему 4, убеждаемся в счётности  множества всех положительных рациональных чисел R+. Так как множество R- отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно множеству R+, то счетным является  и оно, а тогда счётно и множество R, ибо R= R+R-{0}.

Из теоремы 2 вытекает следующие очевидное следствие.

Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента [a, b] является счётным множеством.

Сформулируем в виде теоремы еще один пример счётного множества.

Теорема 9. Множество Р всех пар натуральных чисел является счетным множеством.

Отступление: Под парой натуральных чисел понимают два натуральных числа данных в определённом порядке.

Доказательство: Назовём высотою пары (n, m) натуральное число n+m. Очевидно, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, именно

(1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1).

По этому обозначая через Рk множество всех пар высоты k, видим что множество Р есть объединение счётного множества конечных множеств Рk, а отсюда по теореме 7 получаем что множество Р является счётным множеством.

Теорема 10 также даёт любопытный пример счетного множества.

Теорема 10. Множество S всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счётного множества D, есть счётное множество.

Доказательство: (посредствам полной математической индукции) Из предыдущей теоремы вытекает, что множество пар, составленных из элементов счётного множества D, есть счётное множество. Предположим, что доказана счётность множества Sm всех последовательностей, состоящих из m элементов данного счётного множества D. Докажем, что множество Sm+1 всех последовательностей, состоящих из m+1 элементов множества D также счётно. В самом деле, пусть

D={d1, d2, . . . , dk, . . .}.

Каждой последовательности S(m +1)=(di,  . . , di, dk)Î Sm+1 соответствует пара (S(m), dk), где S(m)= (di,  . . , di)Î Sm, причем различным парам соответствуют различные пары этого вида. Так как множество Sm всех S(m)  счётно, и может быть записано в виде S, . . . , S,  . . . , то счётно и множество всех пар (S, dk) (взаимно однозначно соответствующих парам натуральных чисел индексов i, k), а значит, и множество всех S(m +1).

Так как каждое Sm счётно, то счётно и множество S, что и доказывает теорему.

В заключении докажем следующую, весьма общую теорему:

- 6 -

Теорема 11. Если элементы множества А определяются n значками, каждый из которых независимо от других пробегает счётное множество значений

А={a,, . . . ,}    (xk=x, x, . . . ; k=1, 2, 3, . . . ,n),

то множество А счётно.

Доказательство: Докажем теорему методом математической индукции.

Теорема очевидна, если n=1, то есть имеется только один значок. Допустим, что теорема верна для n=m, и покажем, что она справедлива для n=m+1.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат поведение, технические рефераты.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки