Рефераты | Рефераты по математике | Содержание и значение математической символики |
||
|
л |
и |
и |
В импликации а Þ b первый член а называется антецедентом, второй b – консеквентом.
Операция Þ описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи выражается словами «Если а, то b», «Из а следует b», «а – достаточное условие для b», но на этой аналогии не следует слишком настаивать. Действительно, учитывая определение импликации, данное выше, и интерпретируя выражение а Þ b как «если а, то b», мы получаем: «Если дважды два – четыре, то трижды три – девять» – истинное высказывание; «Если дважды два – пять, то трижды три – восемь» – истинное высказывание и только высказывание типа «Если дважды два – четыре, то трижды три – восемь» ложно.
По определению импликации сложное высказывание а Þ всегда истинно, если консеквент истинный или если антецедент ложный, что в очень малой мере отражает обыденное значение выражения «Если а, то b» или «Из а следует b». Ни в какой мере не следует рассматривать высказывание импликации как означающее, что антецедент является причиной, а консеквент — следствием в том смысле, как это понижается в естественных науках.
Несколько позже мы убедимся, что операция импликации достаточно точно выражает понятие логического следования в той форме, как оно употребляется в математике.
д) Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблять знак Û. Операция эквиваленции определяется так: если а и b – два высказывания, то а Û b (читается: «а эквивалентно b»; Û соответствует словесному выражению «...тогда и только тогда, когда...») – новое высказывание, которое истинно, если либо оба высказывания истинны, либо оба – ложны.
Из этого определения связки Û следует, что ее матрица истинности выглядит так:
|
b a |
и |
л |
|
и |
и |
л |
|
л |
л |
и |
Введенными пятью связками (ù, Ù, Ú, Þ, Û) мы ограничимся.
С помощью уже введенных связок мы можем строить сложные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарных высказываний.
Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство а £ b (читается: a меньше или равно b») представляет собой дизъюнкцию (а < b) Ú (a = b); оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входящих в него простых высказываний. Хорошими примерами сложных высказываний, встречающихся в школьной практике, являются так называемые двойные неравенства. Так, формула а < b < с означает (а < b) Ù (b < с), а, например, а < b £ c означает сложное высказывание (а < b) Ù ((b < c) Ú (b = c)).
Построение сложных высказываний делается аналогично тому, как в элементарной алгебре с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления строятся сколь угодно сложные рациональные выражения. А именно, предположим, что мы уже построили два каких-нибудь сложных высказывания, которые мы ради удобства сокращенно обозначим большими латинскими буквами А и В (при этом мы условимся, что элементарные высказывания следует рассматривать как частный случай сложных). Тогда новые высказывания можно получить, соединив А и В одним из знаков Ù, Ú, Þ, Û или же построив высказывание ùА и заключив результат в скобки. Сложными высказываниями будут, например, высказывания следующего вида:
((а Þ b) Ù (с Ú а)); ((а Þ b) Û (с Þ ùа)).
При этом предполагается, что встречающиеся здесь буквы являются сокращенными обозначениями каких-либо высказываний.
