Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

Такое отображение называется аффинной симметрией.

Доказательство. Если [pic]и [pic], то образом середины отрезка [pic] будет середина отрезка [pic] таким образом, эта точка инвариантна при отображении
[pic] и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. [pic]

Предложение 5.10. Отображение [pic] является аффинной симметрией, если существуют ВПП [pic] пространства [pic] и ЛАМ [pic]с направлением, дополнительным к [pic] такие, что для любой точки[pic] (см.рис.2)
1). [pic]
2). Середина [pic]принадлежит [pic].
Если [pic] сводится к одной точке [pic] то [pic] и [pic] есть центральная симметрия с центром [pic]

Теорема Фалеса

Пусть по-прежнему [pic] есть ВПП в [pic] и [pic]- два аффинных пространства в [pic], направляющие которых соответственно [pic] дополнительны к [pic] Обозначим через [pic](соотв. [pic]) ограничение проектирования [pic] на [pic] (соотв.[pic]) параллельно [pic] Тогда, как легко видеть, [pic] является аффинной биекцией [pic] на [pic], обратная к которой есть [pic]. Образ [pic] точки [pic] определяется условиями [pic] и
[pic] (см. рис. 3).

В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное

[pic]

Рис.3 указанным способом соответствие между [pic] и [pic] является аффинным.

В частности, если [pic][pic] векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.

§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.

Пусть снова [pic]- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством [pic]. Как мы уже видели, выбор начала в [pic] позволяет отождествить [pic] с [pic] теперь мы докажем, что [pic]канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства [pic] изоморфного [pic]

Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке [pic] отображения
[pic]
Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма. Пусть [pic] левое векторное пространство над телом [pic] а
[pic]произвольное множество. Тогда множество [pic] отображений [pic] в
[pic]есть левое векторное пространство над [pic] по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:
[pic] и [pic]

В силу доказанного искомое векторное пространство [pic] будет ВПП в
[pic], порожденным отображениями [pic] Поэтому мы начнем с изучения этого пространства [pic]

Предложение 6.1. Пусть [pic]- векторное подпространство в [pic], порожденное функциями [pic] пуст, далее, [pic] элемент из [pic]. Тогда
А). Сумма [pic] зависит только от функции [pic] и притом линейно, т.е. является линейным отображением [pic] в [pic] которое мы обозначим [pic]
Б). Если [pic] то существует единственная точка [pic], такая, что [pic].
В). Если [pic] то [pic] постоянна.

Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек [pic], такие, что
[pic] но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары [pic] выполнено соотношение

[pic],

(1) которое доказывает существование и линейность функции [pic]
Б). Если [pic] выберем в [pic] произвольную точку [pic] Соотношение (1) показывает, что в [pic] существует единственная точка [pic] такая, что
[pic] она определяется условием [pic] Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой [pic] Таким образом, барицентр семейства [pic] зависит только от функции [pic]
В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1). [pic]

Следствие. [pic] является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида [pic]

Предложение 6.2. Пусть [pic] отображение [pic] и пусть
[pic]отображение [pic] в [pic] которое любому вектору [pic] ставит в соответствие постоянную функцию, равную [pic] на [pic].

Тогда [pic] аффинно с линейной частью [pic]и потому инъективно; при этом [pic] есть аффинная гиперплоскость[pic] в [pic] с уравнением [pic]

Доказательство. Для любой пары [pic] разность [pic]есть постоянная функция [pic]; положим [pic]. Таким образом, [pic] аффинно, [pic] и [pic] инъективно, как и [pic]

С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции
[pic] суть элементы [pic] удовлетворяющие условию [pic].[pic]

Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству [pic], ассоциированному с векторным [pic]-пространством [pic], можно канонически присоединить:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.



Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки