Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Если ?- аффинное пространство конечной размерности [pic], то каждое ЛАМ размерности [pic] в ? определяется системой уравнений вида [pic] [pic], где
[pic]- аффинные отображения ? в [pic], линейные части которых независимы.

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4. Пусть ?[pic]- два аффинных пространства над одним и тем же телом [pic]. Для того, чтобы отображение [pic]?[pic] было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы a) при [pic]

[pic]?[pic]?[pic]

[pic]; b) при [pic] образ эквибарицентра любых трех точек ? был эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.). a) При фиксированной точке [pic]? соотношение a) показывает, что для любого вектора [pic] направляющего пространства [pic] имеем

[pic].

Отображение [pic] удовлетворяет, следовательно, условию [pic].

Чтобы доказать, что выполняется и условие [pic] для любых [pic], выберем такие [pic], что [pic], [pic] и [pic], определим точки [pic], [pic] условиями [pic], [pic]. Применяя условие a), получим тогда [pic], откуда
[pic].

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ? в [pic] является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ? аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5. Если [pic]- полуаффинное отображение и множество [pic] его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством [pic][pic], состоящим из неподвижных элементов отображения
[pic].

С другой стороны, если [pic] конечномерно и [pic]не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то [pic]имеет единственную неподвижную точку.[pic]

Доказательство. Если фиксировать точку [pic], условие
[pic]равносильно [pic]и, значит, условию [pic] где [pic]

. Если [pic]- неподвижная точка [pic]то [pic] равносильно [pic]откуда вытекает первое утверждение.

. Если [pic], то отображение [pic] инъективно и потому в случае конечной размерности [pic] биективно; в [pic]существует единственная точка

[pic] такая, что [pic] откуда следует второе утверждение. [pic]

Важное замечание. Если [pic]- произвольное отображение и [pic]- биекция, то [pic]

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Если [pic] и [pic] - два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то

[pic] также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и [pic]

Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть [pic]- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством [pic] Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.



Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки