Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17

Пусть [pic]– произвольная аффинная прямая [pic], порожденная двумя различными элементами [pic]из [pic]. Без труда проверяется, что [pic] есть
ЛАМ в [pic], порожденное [pic].

По лемме 3, [pic]есть ЛАМ, порожденное [pic]; итак (в силу инъективности [pic]), [pic]является аффинной прямой [pic].

Наконец, [pic]не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и [pic], что противоречит условию 2).
Поэтому [pic].

Отсюда следует, что [pic]удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на [pic], при условии замены [pic]на [pic]. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении [pic]двух параллельных прямых [pic], [pic] из [pic]- две параллельные прямые. Наконец, [pic]удовлетворяет всем условиям теоремы
8.1 (после замены [pic]на [pic]). Следовательно,[pic] полуаффинно и так же обстоит дело с [pic].[pic]
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. [pic]

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела [pic] и
[pic]совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного
(например, когда [pic] или [pic]при [pic]: в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга [pic] пространства
[pic] в [pic].

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение [pic]на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

Так же и в случае [pic] условие 1) выполнено для любого отображения
[pic] в [pic](поскольку каждая прямая в [pic] и [pic]состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

Например, [pic], [pic] есть биекция векторного пространства [pic]над
[pic]в векторное пространство [pic]над [pic], и образ каждой прямой из
[pic]при отображении [pic]содержится в некоторой прямой пространства [pic], но [pic]не является полулинейным (поскольку [pic] и [pic]не изоморфны).

[pic]

Скачали данный реферат: Санников, Ivanov, Мокасеев, Дудаков, Круминь, Полешко.
Последние просмотренные рефераты на тему: реферат на тему образование, оценка реферата, образ жизни доклад, свобода реферат.



Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки