Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

или, после упрощения,

.

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители  свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

,

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений -  и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

Решение Декарта-Эйлера

подстановкой  приводится к "неполному" виду

                                                      .                                                      (16)

Корни , , ,  "неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

,

причем ,  и  - корни кубичного уравнения

.

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени  () можно "обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

            После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени  при  неразрешимо в радикалах.

           

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

            Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: урок реферат, реферат данные.



Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки