Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
2. Объем призмы.
1.Три случая расположения прямой и плоскости.
1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку ( ((
2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.
1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.((( a

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ?АВС (ВD) кот. разделит этот ?на 2 ?.

Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ?ABD и ВСD. Плэтому объем V1 и V2 соответственно равны SABD ·h и SВСD ·h. По св- ву 20 объемов V=V1+V2 т.е V= SABD ·h+ SВСD ·h=

(SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh.

Теорема доказана.

Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол = 1//2 ab то S?=ab =>V?= Sh ч.т.д.

Билет №5
1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2. Объем цилиндра.
1.Рассмотрим пл ? и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,( к пл ?, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл ?
.Отрезок АН называется, ( проведенным из т А к пл ?, a т Н — основанием (. Отметим в пл ? какую- нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т А к пл ? , а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл

?. Сравним ( АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ?АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому

АН из всех расстояний от т А до различных т пл ? наименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина (, проведенного из т А к пл ? , называется расстоянием от т A до пл ?
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn а в эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы Fn равен Snh, где Sn- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn? n>?

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)
2. Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ).

Произвольное сечение конуса пл. , ( к оси Ох , является кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох.

Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ? ОМ1А1 и

ОМА=> что
|ОМ|=|R|, |x|=|R|отк|R| |так|S(x)=|,|S(|(R|
|1 | |1|ил| | |1|уда|=|x|как|(R12 |т|x)|2 |
| | | |и | | | | | |R| | |о|= | |
|ОМ| |R| |h| |R| | | | | | | | |
| | | | | | | | | |h| | | | |h2|

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим
| |h| | | |h| | | | |
| | | | | | | | | |h |
|V|?|?|x2|?|?|x2|?|(|x3|(|1|?R2|
|=| |R|dx|R| |dx|R| | |=| |h |
| | |2|= |2| |= |2| | | | | |
| | |h| |h| | |h| |3 | |3| |
| | |2| |2| | |2| | | | | |
| |0| | | |0| | | | |
| | | | | | | | | |0 |

Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому V=1/3Sh.
Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3h(S·S1+? S·S1).

Билет №7

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки