Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращения D х эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. D y=D f(x0)=f(x0+D x)-f(x0)

Образуем разностное отношение D y/D x=D f(x0)/D x (1) (это разностное отношение явл. ф-цией D х, т.к. х0-фиксирована, причем при D х® 0 мы имеем дело с неопр. 0/0).

Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x) наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он $ ), когда D х® 0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл., что посл-ть ® к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dx или f‘(x0), у‘ (если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(D x® 0) (f(x0+D x)-f(x0))/D x (2)

Если ф-ция f(x) имеет в т-ке х0 пр-ную, т.е. предел в правой части (2) $ , то говорят что f(x) дифференц. в т-ке х0.

2) Непрерывность и дифференцируемость

Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения D f в т-ке х0 D f(x0)=f(x0+D x)-f(x0)= f‘(x0)D x+a (D x)D x (3), где a (D x)-б/м ф-ия при D х® 0

Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при D х® 0 D f(x0)® 0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что $ б/м ф-ция a (D х) такая что D f(x0)/D x=f‘(x0)+a (D x) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на D x.

Примеры.

1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const " x, тогда y‘=0 для " х. В этом случае D y/D x числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.

2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) " kÎ N. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем " т-ку х и дадим приращение D х составим разностное отношение D у/D х=(х+D х)^2-x^2/D x=2х+ D х => lim(D x® 0)D y/D x=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к.

3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае D y/D x=(e^x+D x-e^x)/D x=e^x(e^D x-1)/ D x. Одеако предел дробного сомножителя = 1.

4)y=f(x)=½ x½ =(x, x>0;-x,x<0). Ясна что для " х¹ 0 производная легко нах-ся, причем при y‘=1при x>0 y‘=-1 при x<0. Однако в т-ке x=0 пр-ная не $ . Причина с геом т-ки зрения явл. невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от [-1,+1], а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не $ при x0=0. При D x>0 D y/D x=D x/D x=1=>lim(D x® 0,D x>0)D y/D x=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не $ . В данном случае $ одностор. пр-ная.

Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что D х® 0+(D х® 0-).

Из связи вытекает утвержд., если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также $ и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для $ пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад.

17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка.

Дифференциал выс. порядков

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.

Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0 $ пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.

2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда $ т-ка сÎ (a,b), в которой f‘(c)=0.

3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ (a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).

4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹ 0. Тогда $ т-ка сÎ (a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).

Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x® a)f(x)= lim(x® a)g(x), то lim(x® a)f(x)/g(x)= lim(x® a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный.

Раскрытие ¥ /¥ . Второе правило.

Если lim(x® a)f(x)= lim(x® a)g(x)=¥ , то lim(x® a)f(x)/g(x)= lim(x® a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x® ¥ ,x® -¥ ,x® +¥ ,x® a-,x® a+.

Неопред-ти вида 0¥ , ¥ -¥ , 0^0, 1^¥ , ¥ ^0.

Неопр. 0¥ , ¥ -¥ сводятся к 0/0 и ¥ /¥ путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^¥ , ¥ ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: процесс реферат, содержание реферата курсовые работы.



Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки