Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата



Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Ф-ция f(x) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.

Предел и непрерывность функции

Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0Î Х или х0Ï Х.

Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для " e >0 $ d >0 такое, что для всех хÎ Х, х¹ х0, удовлетвор. неравенству ½ х-х0½ <e , выполняется неравенство ½ f(x)-A½ <e .

Пример Используя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (x® x0)C=C

Возьмем любое e >0. Тогда для любого числа d >0 выполняется треюуемое неравенство ½ f(x)-C½ =½ C-C½ =0<e , => lim(x® x0)C=C

Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)± g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С¹ 0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно В± С, В* С, В/С, т.е. lim[f(x)± g(x)]= B± C, lim[f(x)* g(x)]= B* C, lim[f(x)/g(x)]= B/C

Теорема также верна если х0 явл. + ¥ , - ¥ , ¥

Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim(x® x0)f(x)=f(x0)

Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)± g(x), f(x)* g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке.

10. Предел. Односторонний предел.

Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А$ окрестность (х0):" xÎ окрестности (x0) выполняется условие f(x)Î окрестности.

Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.

Опрx0

Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)® A

Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(x® x0+o)f(x) где запись x® x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.

Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)

Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=

f(x0-)=lim(x® x0)f(x)=A

Док-во

а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)® А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.

б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что $ просто предел. Возьмем произвольную {xn}® х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности.

1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};

2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};

x’n® x0-o x’’n® x0+o, т.к. односторонние пределы $ и равны, то f(x‘n)® A и f(x‘‘n)® A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:

1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)® A на основании связи между сходимостью последовательностей

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: процесс реферат, содержание реферата курсовые работы.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки

   

Категории:

• Математика