Предыдущая страница реферата | 15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25

Прямые АА1 и BB1 получают уравнения и . Для точек, лежащих на оси х проекций,. Подстановкой в предыдущие уравнения получаем координаты точек А1 и В1:

.

Находим:

,

где - указанный в условии задачи угол.

Задача 4. На окружности взяты четыре произвольные точки А, В, С, D. Окружности соответственно с центрами A, В, С и проходящие через точку D пересекаются вторично попарно в точках (рис.5). Доказать, что точки коллинеарны.

Решение. Пусть окружность является единичной и точка D имеет координату d=l. Используя уравнение (14) и тот факт, что окружность имеет центр A(а) и содержит точку D(1), получаем ее уравнение

, или . Аналогично окружности и будут иметь уравнения

и

.

Решая систему уравнений окружностей и , находим координату второй общей точки М3 этих окружностей: m3=a+b-ab.

Аналогично m2=c+a-ca, m1=b+c-bc.

Отсюда находим:

.

Это число сопряжено самому себе, и потому точки коллинеарны.

Задача 5. Найти множество центров окружностей, проходящих через данную точку М (т) ортогонально данной окружности .

Решение. Если окружность обладает заданным свойством, то

Исключая получаем уравнение относительно :

.

Им определяется прямая с нормальным вектором , который равен вектору , где - центр данной окружности. Следовательно, эта прямая перпендикулярна прямой AM (рис.6).

Заключение

Многие задачи элементарной геометрии можно изящно и просто решать при помощи комплексных чисел. Однако, значение комплексных чисел заключается не только в изяществе и краткости решения задач посредством этих чисел, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения комплексных чисел при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Конечно, данная работа не может вместить в себя все теоремы и задачи, к тому же многие из них еще не сформулированы. Здесь рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых были представлены задачи и их решения.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь мы остановились на вопросе применения комплексных чисел к решению планиметрических задач, а что, если комплексные числа применять к решению стереометрических задач?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: метод комплексных чисел в применении к решению задач по элементарной геометрии можно давать не только студентам высших учебных заведений, но и старшим школьникам на факультативных занятиях. Так как этот метод прост в применении, использует аппарат комплексных чисел, что, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Дает возможность посмотреть на задачи по геометрии с другой стороны, приучить к тому, что все наглядные задачи (правильность которых видна из чертежа) можно решать аналитическим способом, вообще не прибегая к чертежу.

Список использованной литературы

1.

.З. А. Скопец Геометрические миниатюры.- М.: Просвещение, 1990

2.Л. И. Волковский Сборник задач по теории функций комплексных переменных.- М.: Просвещение, 1985

3.И. И. Привалов Введение в теорию функции комплексного переменного.- М.: Просвещение, 1988

Скачали данный реферат: Livanov, Клим, Трушевский, Кругликов, Arsenij, Бикеев.
Последние просмотренные рефераты на тему: сочинение на тему образ, греция реферат, дипломы грамоты, военные рефераты.



Предыдущая страница реферата | 15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки