Рефераты | Рефераты по математике | О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностяхКатегория реферата: Рефераты по математике Теги реферата: контрольная работа по математике класс, хозяйство реферат Добавил(а) на сайт: Милий. Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата |
1 |
Легко угадать, что это за показатели: в n-м столбце нашей таблицы в верхней строке стоят числа ½(3n2 – n), в нижней – число (–1)n. Если это так при всех n, мы приходим к равенству
|
(1 – x)(1 – x2)(1 – x3)... = 1 – x – x2 + x5 + x7 – ... + |
|
+ (–1)n x½(3n² – n) + (–1)n x½(3n² + n) + ... |
или, пользуясь принятой в математике сокращённой символикой,
|
∞ |
∞ |
||
|
∏ |
(1 – xn) = 1 + |
∑ |
(–1)n ( x½(3n² – n) + x½(3n² + n) ). |
|
n=1 |
n=1 |
Это и есть тождество Эйлера. Последующие поколения математиков дали этому тождеству несколько доказательств. Одно из них приводится в п. 3. (Читатель, который больше интересуется фактами, чем доказательствами, без ущерба для понимания дальнейшего может этот параграф пропустить.) А сейчас я расскажу об одном замечательном применении тождества Эйлера, которое украшает все учебники комбинаторики.
2. Тождество Эйлера и число разбиений
Пусть n – натуральное число. Обозначим через p(n) число способов, которыми можно представить n в виде суммы натуральных слагаемых (при этом слагаемые в суммах могут повторяться, и представления, различающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми). Например:
|
p(1) = 1; |
|||||
|
p(2) = 2 |
(2 = 2; 2 = 1 + 1); |
||||
|
p(3) = 3 |
(3 = 3; 3 = 2 + 1; 3 = 1 + 1 + 1); |
||||
|
p(4) = 5 |
(4; 3 + 1; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1); |
||||
|
p(5) = 7 |
(5; 4 + 1; 3 + 2; 3 + 1 + 1; 2 + 2 + 1; Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: заключение реферата, защита дипломной работы. Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладкиКатегории: |