Рефераты | Рефераты по математике | О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностяхКатегория реферата: Рефераты по математике Теги реферата: контрольная работа по математике класс, хозяйство реферат Добавил(а) на сайт: Милий. Предыдущая страница реферата | 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 | Следующая страница реферата |
a2 |
ak |
Мы видим, что представлений числа n в виде a1 + 2a2 + ... + kak столько же, сколько есть его представлений в виде суммы натуральных слагаемых, то есть p(n). Таким образом, коэффициент при xn в нашем произведении равен p(n), то есть 1/φ(x) = π(x). Теорема доказана.
Положив для удобства p(0) = 1, напишем
(1 – x – x2 + x5 + x7 + ...)(1 + p(1)x + p(2)x2 + ...) = 1
(коэффициенты в первом множителе пишутся согласно тождеству Эйлера!). Раскроем скобки и приравняем нулю коэффициенты при x, x2, x3, ..., xn в левой части. Получим:
|
p(1) – p(0) = 0; |
|
p(2) – p(1) – p(0) = 0; |
|
p(3) – p(2) – p(1) = 0; |
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
p(n) – p(n–1) – p(n–2) + p(n–5) + p(n–7) – ... = 0 |
(в левой части последней формулы нужно писать слагаемые до тех пор, пока аргумент у p остаётся неотрицательным). Итак,
p(n) = p(n–1) + p(n–2) – p(n–5) – p(n–7) + ... .
Эта формула позволяет быстро составить довольно длинную таблицу чисел p(n). Вот практический совет, как это сделать. Возьмите лист клетчатой бумаги – лучше всего двойной тетрадный лист. Отрежьте вдоль его длинной стороны полоску шириной 3–4 клетки. Положите эту полоску перед собой вертикально и у левого среза в нижней клетке поставьте какой-нибудь знак, скажем звёздочку. Затем, двигаясь вверх, поставьте в первой клетке +, во второй +, в пятой –, в седьмой –, в двенадцатой +, в пятнадцатой + и т.д., насколько хватит длины полоски (рис. 1). Оставшуюся часть листа также положите перед собой вертикально и, отступя 10–15 клеток от её левого среза, проведите на ней вертикальную черту – сверху донизу. В клетки, прилегающие к черте слева, двигаясь сверху вниз, впишите уже известные вам числа p(n), начиная с p(0): 1, 1, 2, 3, 5, 7. Чтобы найти следующее значение, приложите отрезанную полоску справа к вертикальной черте так, чтобы звёздочка оказалась против первой пустой клетки. Теперь из суммы чисел, стоящих против плюсов, вычтите сумму чисел, стоящих против минусов. Что получится – впишите в клетку против звездочки: это – следующее значение функции p(n). Опустите полоску на одну клетку вниз и повторите то же самое. И так далее. Через несколько минут вы получите колонку чисел p(n) высотой в ваш лист.
|
|
||
|
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Пользуясь этим рецептом, я нашел числа p(n) для n ≤ 50. На это потребовалось – честно, по часам – 17 минут. (Несколько первых шагов вычисления я привожу на рисунке 2; красные числа – это новые значения p(n).) В частности,
p(50) = 204226.
Представьте себе, сколько потребовалось бы времени для нахождения этого числа кустарным способом!
3. Доказательство тождества Эйлера
Раскроем скобки в нашем произведении
(1 – x)(1 – x2)(1 – x3)(1 – x4)... .
Получится сумма (бесконечная), в которой xn встретится столько раз, сколькими способами n представляется в виде суммы возрастающей последовательности натуральных чисел: n = n1 + n2 + ... + nk , n1 < n2 < ... < nk ; при этом знак при xn будет +, если k чётно, и –, если k нечётно. Ниже в этом параграфе наборы (n1 ..., nk ) с n1 + ... + nk = n и n1 < ... < nk называются просто «разбиениями».
Мы будем различать разбиения трёх типов. Обозначим для разбиения (n1 , ..., nk ) через s наибольшее число такое, что nk – nk–s+1 = s – 1, то есть s чисел nk–s+1, ..., nk идут подряд (очевидно, s ≤ k). Например, для разбиения 12=2+4+6 s = 1, для разбиения 12=1+5+6 s = 2, для разбиения 33=4+5+8+9 s = 3. Мы скажем, что разбиение (n1 , ..., nk ) принадлежит