О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: контрольная работа по математике класс, хозяйство реферат
Добавил(а) на сайт: Милий.
Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата
4. Тождество Гаусса
Прошло около 70 лет со времени открытия Эйлера, и другой великий математик, Карл-Фридрих Гаусс, сделал следующий шаг в теории, получившей (по причинам, в которые мы не вникаем) название «теория модулярных форм». Он обнаружил, что, если функцию Эйлера возвести в куб, получится ряд, быть может ещё более замечательный, чем ряд Эйлера:
φ3(x) = (1 – x)3(1 – x2)3(1 – x3)3... = 1 – 3x + 5x3 – 7x6 + 9x10 – 11x15...
(я советую вам не полениться и вычислить столько коэффициентов ряда φ3(x)) или
|
∞ |
∞ |
||
|
∏ |
(1 – xn )3 = 1 + |
∑ |
(–1)n (2n + 1) xn(n+1)/2. |
|
n=1 |
n=1 |
Это тождество Гаусса тем более удивительно, что квадрат функции Эйлера с виду ничем не примечателен:
φ2(x) = 1 – 2x – x2 + 2x3 + x4 + 2x5 – 2x6 – 2x8 – 2x9 + x10...
(не радуют и дальнейшие члены этого ряда: последовательность его коэффициентов не обнаруживает никакой закономерности, в ней появляются тройки, четвёрки и т.д.). Глубину тождества Гаусса подчёркивает то обстоятельство, что известны его доказательства, относящиеся к совершенно разным областям математики – от геометрии Лобачевского до весьма абстрактной гомологической алгебры. Известно и доказательство, по духу близкое к доказательству тождества Эйлера из п. 3, но оно удручающе громоздко. Доказательства, которое можно было бы предложить читателям «Кванта», я не знаю. Может быть, такое доказательство придумает кто-нибудь из читателей?
5. Степени функции Эйлера
Итак, мы знаем, как устроены ряды φ(x) и φ3(x), но не имеем никакой удовлетворительной формулы для φ2(x). А как обстоит дело с рядами φ4(x), φ5(x), ...? Иными словами: при каких n существуют формулы для коэффициентов ряда φn(x)? Для ответа на этот неформальный (то есть не имеющий точного смысла) вопрос я предлагаю использовать следующий полуформальный признак. Если при некотором n среди коэффициентов ряда φn(x) часто попадаются нули – это вряд ли случайно: наверное, для φn(x) есть какое-то тождество типа тождеств Эйлера и Гаусса. Впрочем, если нулей мало или нет вовсе – ничего ещё не известно. По моей просьбе Е. И. Коркина вычислила на ЭВМ коэффициенты, с которыми в ряды φ(x), φ2(x), ..., φ15(x) входят x, x2, ..., x50 (те из вас, кто учится в математической школе и проходит практику на ЭВМ, могут попытаться повторить это вычисление). [Через 20 лет после написания статьи эти строки невозможно читать без улыбки. :) – E.G.A.] Нет смысла приводить результаты вычисления полностью; я ограничусь таблицей, в которой c(n) обозначает число нулей среди коэффициентов при x, ..., x50 в ряде φn(x):
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: заключение реферата, защита дипломной работы. Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладкиКатегории: |