Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение [pic], малое или большое, все равно
[pic] при [pic].
Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды [pic]=0, амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе.

Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным [pic]. Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается.

Из выражения (9) следует, что если [pic], то [pic], и для любых [pic]
[pic] очень быстро приближается к значению [pic] независимо от [pic]. Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:

[pic] (10)

Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.
Режимы с постоянной амплитудой, для [pic], приводят к уравнению

А[pic]=[pic]=0

[pic] .

Корни этого уравнения [pic] [pic];

[pic]; [pic]0 : [pic], 0[pic],

где [pic] (s=1,2) [pic]=[pic]

[pic] [pic] (s=1,2)

Проверим выполнение условий теоремы для нашего уравнения. Из системы
(6) находим [pic] и [pic]:

[pic]

Очевидно, что [pic] и [pic] непрерывны.
[pic], из этих неравенств видно, что [pic] и [pic] ограничены для любого конечного [pic]. Функции [pic] и [pic] для системы (2) имеют вид:

[pic].

Из последней системы видно, что [pic] и [pic] непрерывны и ограничены для любого конечного [pic]. [pic] и [pic]— периодические по t с любым периодом, в том числе и [pic]. Функции [pic] и [pic], [pic] и [pic] непрерывно дифференцируемы по t, а следовательно удовлетворяют условию
Липшица.

Пусть [pic] и [pic]— решения точной системы (6). Тогда для [pic]
[pic] и [pic] : [pic], [pic].

( В нашем случае [pic], [pic] определяется уравнением (9а)).

Выводы

В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.
В заключение заметим, что метод Ван-дер-Поля позволил исследовать достаточно широкий круг задач нелинейной механики (с одной степенью свободы), и задач радио- и электротехники, обладает наглядностью и удобен для проведения расчетов. Благодаря этому методу созданы генераторы стационарных колебаний в радиоприемных и радиопередающих устройствах, которые используются и по сей день в современной технике. В рамках теории
Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.

Список использованной литературы

1. Ю.А. Митропольский Метод усреднения в нелинейной механике,

«Наукова думка» Киев — 1971г.

2. Н.Н. Моисеев Асимптотические методы нелинейной механики, М.: Наука, 1981г.

3. А. Найфэ Методы возмущений. Издательство «Мир», Москва—1976г.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: изложение ломоносов, новшество.



Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки