Предыдущая страница реферата | 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26 | Следующая страница реферата

При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:

и лемма доказана.

Теорема 8. Для любого натурального k и любого

(6.14)

Доказательство. Имеем

Отсюда, по лемме 10,

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:

Если , то . Кроме того,

Поэтому для

и теорема доказана.

Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на {En} условие (6.4) влечёт

Теорема 9. Зададим натуральное число k; пусть и . Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

(6.15)

Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для

Положим здесь и заметим, что тогда для и, в силу условия ,

Поэтому для

и теорема доказана.

Следствие 9.1. Пусть и . Тогда для всех натуральных классы эквивалентны.

Следствие 9.2. Пусть и . Если

то для любого фиксированного натурального

равномерно относительно n.

Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных f (r)?

Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть

(6.16)

где

(6.17)

Тогда f имеет непрерывную производную f(r) и

(6.18)

С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд сходится, то функция f имеет непрерывную производную f (r). Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f(r) и равномерно относительно x. В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.

Доказательство. при . Поэтому равномерно относительно x. Отсюда следует, что если {nk} (k=0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров, то

Зафиксируем натуральное число n и положим

Тогда будем иметь

(6.19)

где

Докажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е.

(6.20)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: аристотель реферат, международный реферат.



Предыдущая страница реферата | 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки