Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

являются абсциссы точек пересечения этих графиков (и только они).

Из всех способов, какими можно уравнение (1.1) преобразовать к виду (2.1) выбираем тот, который обеспечивает наиболее простое построение графиков y1=j1(x) и y2=j2(x). В частности можно взять j2(x) = 0 и тогда придём к построению графика функции (1.1), точки пересечения которого с прямой y2=j2(x)=0, т. е. с осью абсцисс, и есть искомые корни уравнения (1.0).  

Условия, наложенные на функцию f(x) на отрезке [a, b].

Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] (для метода хорд можно потребовать на интервале) и имеет на этом интервале первую и вторую производные, причём обе они знакопостоянны (в частности отличны от нуля). Будем также предполагать, что функция f(x) принимает на концах отрезка значения разного знака. В силу знакопостоянства первой производной функция f(x) строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (1.1) имеет в точности один корень на интервале (a, b).

2. Метод дихотомии 

Этот метод ещё называется методом вилки.  

Нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на отрезке [a, b]. Рассмотрим отрезок [x0, x1]: [x0, x1]Ì[a, b]. Пусть мы нашли такие точки х0, х1, что f (х0) f(х1) £ 0, т. е. на отрезке [х0, х1] лежит не менее одного корня уравнения. Найдём середину отрезка х2=(х0+х1)/2 и вычислим f(х2). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие

f (х2) f(хгран.) £ 0, так как один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис 1.2).

 

рис. 1.2

Если требуется найти корень с точностью Е, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2Е. Тогда середина последнего отрезка  даст значение корня с требуемой точностью.   Дихотомия проста и очень надёжна. К простому  корню она сходится для любых непрерывных функций  в том числе и не дифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости не велика; за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трёх цифр требует 10 итераций. Зато точность ответа гарантируется.

Приступим к доказательству того, что если непрерывная функция принимает на концах некоторого отрезка [a, b] значения разных знаков, то методом дихотомии однозначно будет найден корень.

Предположим для определённости, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка [a, b] отрицательное значение, а на правом – положительное:

f(a) < 0, f(b) > 0.

Возьмём среднюю точку отрезка [a, b], h=(a+b)/2 и вычислим значение в ней функции f(x). Если f(h)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли такую точку, где функция обращается в нуль. Если f(h)¹ 0, тогда из отрезков [a, h] и [h, b] выберем один из них тот, где функция на его концах принимает значения разных знаков. Обозначим его [a1, b1]. По построению: f(a1)<0, f(b1)>0. Затем среднюю точку отрезка [a1, b1] точку h1 и проведём тот же алгоритм нахождения другого отрезка [a2, b2] где бы по построению f(a2)<0, f(b2)>0. Будем продолжать этот процесс. В результате он либо оборвётся на некотором шаге n в силу того, что f(hn)=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения f(x)=0 решён, поэтому рассмотрим второй случай.

Неограниченное продолжение процесса даёт последовательность отрезков [a, b], [a1, b1], [a2, b2],… Эти отрезки вложены друг в друга – каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:

an £ an+ 1 < bn+ 1 £ bn (1.2)

причём:

f(an) < 0, f(bn) > 0 

Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:

 

Рассмотрим левые концы отрезков. Согласно (1.2) они образуют монотонно убывающую ограниченную последовательность {an}. Такая последовательность имеет предел, который можно обозначить через c1:

Согласно (1.1) и теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем:  

c1 £ bn (2.2)  

Теперь рассмотрим правые концы отрезков. Они образуют монотонно не возрастающую ограниченную последовательность {bn}, которая тоже имеет предел. Обозначим его через с2: . Согласно неравенству (2.1) пределы с1 и с2 удовлетворяют неравенству с1 £ с2. Итак, an £ с1 < с2 £ bn, и следовательно:

с2-с1 £ bn - an=(b-a)/2n.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом вуза, стратегия реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки