Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

,

в то время как в методе Ньютона ошибка убывает быстрей (соответствуя b=2). Но в методе на каждой итерации надо вычислять и функцию, и производную, а в методе секущих – только функцию. Поэтому при одинаковом объёме вычисления в методе секущих можно сделать вдвое больше итераций и получить более высокую точность. Что является более приемлемым при численных расчётах на ЭВМ, чем метод касательных.  

В знаменателе формулы (1.7) стоит разность значений функции. Вдали от корня это несущественно; но вблизи корня, особенно корня высокой кратности, значения функции малы и очень близки. Возникает потеря значащих цифр, приводящая к «разболтке» счёта. Это ограничивает точность, с которой можно найти корень; для простых корней это ограничение невелико. Приводить к общему знаменателю уравнение (1.7) не следует: может увеличится потеря точности в расчётах.  

От «разболтки» страхуются так называемым приёмом Гарвика. Выбирают не очень малое e, ведут итерации до выполнения |xn+ 1-xn|<e и затем продолжают расчёт до тех пор, пока | xn+ 1-xn | убывают. Первое же возрастание обычно означает начало «разболтки»; тогда расчёт прекращают и последнюю итерацию не используют.

8. Метод хорд, или линейной аппроксимации

Рассмотрим задачу решения уравнения (1.1) методом хорд.  

Этот метод состоит в следующем. График функции f(x) заменяется её хордой, т. е. отрезком соединяющий концевые точки графика функции f(x): точки (a, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса х1 точки пересечения этой хорды с осью Ох и рассматривается, как первое приближение искомого корня (рис 1.8). Далее берётся тот из отрезков [a, x1] и [x1, b], на концах которого, функция f(x) принимает значения разного знака (далее будет показано, что при сделанных предположениях f(x) ¹ 0 и, следовательно, такой отрезок всегда существует), и к нему применяется тот же приём; получается второе приближение корня х2 и т. д. В результате образуется последовательность хn, n=1, 2, … которая, как это будет показано, при сделанных ограничениях на функцию f(x), сходится к корню уравнения f(x).

Легко получить рекуррентные формулы для указанных чисел хn, n=1, 2,… Уравнение прямой, проходящее через крайние точки графика функции f(x) имеет вид:

 (1.8)

Обозначим его правую часть через l(x), т. е. Запишем уравнение в виде:

y = l(x)

Найдём абсциссу х1 точки пересечения прямой (1.8) с осью Ох, т. е. Решим уравнение l(x)=0; получим: 

 (2.8)

Легко убедится, что:

a < x1 < b (3.8)

Это, например, следует из строгой монотонности и непрерывности функции l(x) и того, что на концах отрезка [a, b] она принимает значения разного знака: l(a)=f(a) и l(b)=f(b).

Аналогично находим

 n=1, 2, … (4.8)

Покажем, что последовательность {xn} стремится к корню уравнения (1.0) монотонно.

Предположим для определённости, что f ¢(x) и f ¢¢(x) >0, a<x<b (рис 1.8). В этом случае функция f(x) строго монотонна и строго выпукла вниз. Следовательно, любая внутренняя точка хорды, соединяющей крайние точки графика функции f(x), лежит над соответствующей точкой графика функции f(x), т. е.

x > b

В частности, если х0 корень уравнения (1.1): f(x0) = 0, отсюда следует, что

l(x0) > 0

C (3.8) и (4.8) получаем:

x1 > b

Таким образом,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом вуза, стратегия реферат.



Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки