Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Если функция f(x), удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то она непрерывна на нём. Действительно, пусть x0 – произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции f(x) в этой точке:

Df=f(x0+Dx) – f(x0)

и оценим его с помощью неравенства (4.3)

|Df | £ a|Dx|

Таким образом, , что означает непрерывность функции f(x).

Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмём не графике функции y=f(x) две произвольные точки M1 и M2 с координатами (x1, f(x1)) и (x2, f(x2)). Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки:

y=f(x1) + k(x-x1)

где k– тангенс угла наклона прямой у оси Оx и определяется формулой:

 

Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то при произвольном выборе точек M1 и M2 имеем |k|£a. Таким образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведённых через всевозможные пары точек графика функции y=f(x).

рис 2.3 геометрическая иллюстрация условия Липшица.

 

рис 3.3 геометрическая иллюстрация cвязи условия Липшица с предположением о дифференцируемости функции.

Предположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную производную:

| f ¢(x)| £ m; тогда она удовлетворяет условию Липшица с постоянной a=m. Для доказательс- тва этого утверждения воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:

f(x2) – f(x1) = f ¢(x)(x2-x1) (5.3)

где x1, x2, - произвольные точки отрезка [a, b] x, - некоторая точка отрезка [x1, x2]. Возьмём модуль обеих частей равенства (4.3) и заменим в правой части | f ‘(x)| на m. В результате по- лучим неравенство (4.3) с a=m. Рис.2.3 даёт геометрическую иллюстрацию установленного свойства. Согласно формуле Лагранжа (5.3) каждой секущей графика функции y = f(x) мож- но поставить в соответствие параллельную её касательную. Поэтому наибольший тангенс угла наклона касательных, и его можно оценить той же константой m: |k| £ m.

Познакомившись с условием Липшица, перейдём к изучению итерационной последовательности, предполагая, что уравнение имеет корень x=c. Существование этого корня можно установить с помощью качественного предварительного исследования уравнения с применением теоремы о существовании корня непрерывной функции.

Теорема о существовании корня непрерывной функции 

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения f(x).

Теорема о сходимости итерационной последовательности

Пусть с – корень уравнения (2.3) и пусть функция j(x) удовлетворяет на некотором отрезке [c-d, c+d] (d>0) условию Липшица с постоянной a<1. Тогда при любом выборе x0 на отрезке [c-d, c+d] существует бесконечная итерационная последовательность {xn} и эта последовательность сходится к корню x=c, который является единственным решением уравнения (1.3) на отрезке [c-d, c+d].

Сформулированная теорема имеет очень простой смысл. Будем говорить, что функция j осуществляет отображение точки x на точку y=j(x). Тогда условие Липшица с постоянной a<1 означает, что отображение j является сжимающим: расстояние между точками x1 и x2 больше, чем расстояние между их изображениями y1=j(x1) и y2=j(x2).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом вуза, стратегия реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки