Рефераты | Рефераты по математике | Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике |
____________ -1/Ö1-x2 |
|
|
arctg x |
1/(1+x2) |
|
|
arcctg x |
-1/(1+x2) |
Пусть c – постоянная, f(x) и g(x) – дифференцируемые функции, тогда
c = 0;
(c * f(x))’ = c * (f(x))’;
(f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g ‘(x);
(f(x) * g(x))’ = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);
(f(x)/g(x))’ = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x))/g2(x);
Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x ≤ b.
1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f '(х) равна нулю.
Иллюстрируем
это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то
касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ≤ х ≤
b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим
значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения
касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего
направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]
график функции
y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное
f(а), остается неизменным (черт.).
2°. Если в промежутке a<x<b функция y=f(x) возрастающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δx и Δу положительны, отношение Δy/Δx положительно и при стремлении Δx к нулю принимает только положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f '(х) — положительна или равна нулю
f '(x) ≥ 0
Если в промежутке а<х<b функция y=f(x) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные значения и при стремлении Δx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.
f '(x) ≤
0.
Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):
f '(x) = tgφ,
и у возрастающей функции f '(x) = tgφ ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f '(х) = tgφ ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).
В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b1 (a<a1<b1<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a1 ≤ х ≤ b1 то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).
Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р1.
