Рефераты | Рефераты по математике | Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике |
25 |
→∞ |
Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.
Определение.
1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем
при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.
2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.
Термины "максимум" и "минимум" объединяются в один общий для них термин "экстремум".
Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.
Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x— 2х2 (черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x (черт. 112), или иметь
максимум и минимум, как, например, функция у = х3— — х2 — 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х3, y = ctgx, y = ax не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ∞ до +∞ первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.
Максимум
(минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная
на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с1М1 и с3М2, а в точке с0 значение, меньшее минимума c2m1, и c4m2, минимум c4m2 больше
максимума с1М1. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть
наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.
1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2δ точки х=с:
1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с — Δx:, а правой в виде с+ Δx, где 0< Δx < δ. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с — Δx), а в правой f(c + Δx). Значения f(x) в окрестности 2δ точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Δx, причем значение х = с -/+ Δx неограниченно приближается к числу с, если Δx стремится к нулю.
По определению максимума функции:
f(c- Δx)<f(c) и f(c + Δx)<f(c).
Отсюда:
f(c-Δx)-f(c)<0 и f(c + Δx)-f(с)<0.
Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на — Δx и + Δx. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:
|
lim ((f(c - Δx)-f(c))/(—Δx)) = f‘(c) и lim ((f(c + Δx)-f(c))/(+Δx)) = f‘(c). - Δx→0 + Δx→0 |
Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показывает, что f '(с) не может быть положительной. Следовательно,
f‘(c) = 0,
что и требовалось доказать.
