Сходящиеся последовательности

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: диплом государственного образца, конспект по математике
Добавил(а) на сайт: Бойков.

Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата

Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако

Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn £ уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как а£ xn£ b, то a£ c£ b.

ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xn£ yn£ zn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства xn-а £ yn-а £ zn-а. Отсюда следует, что при n³ N’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству

|yn-a| £ max , .

Так как и , то для любого e >0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при n³ N1 |xn-a|<e , а при n³ N2 |zn-a|<e . Итак последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ

Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e >0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число ne , что ne >. Поэтому для всех n³ ne , а это означает, что .