
Теория цепных дробей
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат суды, доклад
Добавил(а) на сайт: Разуваев.
Предыдущая страница реферата | 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | Следующая страница реферата
Примеры:







Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид , где P, Q, D
, причем D>1. Если бы мы имели
=
, то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что
– рациональное число, а следовательно, рациональным являлся бы и
, а это не так.
Теорема: Всякая периодическая непрерывная дробь изображает квадратическую иррациональность.
Доказательство: Пусть – смешанная периодическая цепная дробь, то есть
, где
– чисто периодическая цепная дробь.
Обозначим подходящие дроби к и
соответственно через
и
.
Так как , то, согласно формуле (5) из 1.1 этой главы,
. Выполнив необходимые преобразования, получаем:
.
Из этой формулы видно, что удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме того,
- число иррациональное, так как оно представляет бесконечную непрерывную дробь. Таким образом,
- квадратическая иррациональность. Но по той же формуле
, поэтому и
является, очевидно, квадратической иррациональностью, что и требовалось доказать.
Докажем обратную теорему, которая носит имя Лагранжа.
Теорема Лагранжа: Всякая действительная квадратическая иррациональность изображается периодической непрерывной дробью.
Доказательство: Пусть – действительный иррациональный корень квадратного уравнения
(1) с целыми коэффициентами a, b, c.
При разложении в непрерывную дробь получаем
(2), где
– остаток
порядка k+1.
Подставляя выражение из (2) в (1), получаем
(3), где
(4)
Отсюда, во-первых, видно, что (5), во-вторых, можно непосредственным вычислением установить, что
(6).
Таким образом, дискриминант уравнения (3) такой же, как и дискриминант уравнения (1), откуда следует, что он от k не зависит.
Идея доказательства в дальнейшем заключается в том, чтобы показать, что при данном коэффициенты
,
,
ограничены по модулю.
Если этот факт на самом деле имел бы место, то это означало бы, что коэффициенты, будучи целыми числами, могут принимать только конечное число различных значений. Вместе с тем и число возможных уравнений (3) было бы конечным, хотя k пробегает бесконечное множество значений. Но в таком случае и остатки (которые определяются из (3)), число которых бесконечно, могли бы принять только конечное число различных значений. Поэтому должны были бы существовать остатки
с одинаковыми значениями, а это уже означает, что непрерывная дробь – периодическая.
Итак, докажем, что ,
и
ограничены по абсолютной величине. Достаточно сделать это для
, так как в силу соотношения (5), из ограниченности
уже как следствие вытекает ограниченность
, а в силу (6) – ограниченность
.
Как известно из свойств подходящих дробей, или
, где
, откуда
.
Поэтому из первого равенства (4) имеем
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: таможенные рефераты, изложение по русскому языку 7.
Предыдущая страница реферата | 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | Следующая страница реферата