§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
[pic] (1)
Пусть выбран любой[pic], где [pic], и его норма:
[pic]- дифференциальный оператор.
[pic] - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора.

(2)
Определение.
Открытое, связное множество [pic] называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через [pic]или [pic] будем обозначать границу области.
Определение.
[pic] - (n-1)-мерное многообразие S в [pic] принадлежит классу [pic]
([pic]), если для [pic] и [pic] такие, что:
[pic], где [pic]
[pic] однозначно проектируется на плоскость [pic], при этом:
D - проекция данного множества на плоскость [pic], [pic] - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.
[pic]
Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в [pic].
[pic], аналогично [pic].
[pic] - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.
Аналогично: [pic].

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
[pic].
[pic] - матрица квадратичной формы.
[pic] - n вещественных собственных значений матрицы A
[pic] - количество положительных собственных значений.
[pic] - количество отрицательных собственных значений.
[pic] - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если [pic]= n или [pic]= n, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
[pic].
2.Если [pic] = n - 1, [pic] = 1, или [pic] = 1, [pic] = n - 1, то уравнение гиперболическое.
Ex: [pic] - волновое уравнение.
Для уравнения Лапласа:
[pic]
Для волнового уравнения:
[pic]
3.Если [pic], а [pic], то ультрагиперболическое уравнение.
Ex: [pic].
4.Если [pic], то параболическое уравнение.
Ex: [pic], и - уравнение теплопроводности.
[pic]
Определение.
Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.
1) y=y(x), то:
[pic]
Уравнение (1) в новой системе координат:
[pic] (1')
Матрица Якоби:
[pic].
В результате:
| |
|[pic] |
| |

Ex:
[pic] гиперболическое уравнение.
[pic] - канонический вид волнового уравнения.
Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.
§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.
Задача Коши для волнового уравнения:
[pic] [pic]
Уравнение теплопроводности
[pic] [pic]
Уравнение Пуассона
[pic]
Определение.
Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.
[pic] (6)
[pic] (7.1)
[pic] (7.2)
[pic] (7.3)
(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.
(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.
(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.
[pic] (8)
[pic]
[pic] (9)
[pic] (10)
[pic] (11.1)
[pic] (11.2)
[pic] (11.3)
(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)
[pic] - единичный вектор внешней нормали к поверхности.
На [pic] задаются начальные условия.
На боковой поверхности - краевые задачи.

Параболическое уравнение.
[pic] (12)
[pic] (13)
[pic] (14.1)
[pic] (14.2)
[pic] (14.3)
(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.
(14.1) - на границе задана температура;
(14.2) - задан тепловой поток;
(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье
(разделением переменных).
Первая смешанная задача.
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
[pic] (4)
[pic] (5)
[pic] (6)
Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.
[pic]
[pic] - изолир. [pic].
[pic] - ортонормированный базис в [pic].
В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.
Пусть функции [pic] - разложены по базису [pic]
[pic] тогда и u(t,x) можно разложить по базису [pic] : [pic]
Почленно дифференцируем ряд 2 раза:
[pic]
[pic] (7)
Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.
[pic] (8)
[pic] (9)
(7) (8) (9) - задача.
Решим однородное уравнение для (7):
[pic]
- общее решение однородного уравнения (7)
[pic]
[pic] (10)

[pic]
В результате: [pic] - частное решение неоднородного уравнения (7).
[pic] - общее решение уравнения (7).
Подставим (8) и (9) в решение:
[pic] т.е. [pic].
| [pic] |

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье
(разделения переменных).
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
[pic] (4)
[pic] (5)
[pic] - собственные векторы и собственные значения.
[pic]
[pic] (6)
[pic]
[pic] - общее решение однородного уравнения (6)
[pic] - частное решение неоднородного уравнения (6)
[pic]
[pic] - общее решение уравнения (6).
[pic]
| [pic] |

Рассмотрим функцию:
[pic]
[pic] - бесконечно дифференцируема при [pic].
Если [pic] из [pic], то:
[pic]
[pic], и при [pic] функция склеивается как бесконечно гладкая.
[pic]
[pic]-финитная :[pic]
[pic] - замыкание множества, где [pic] отлична от 0.
[pic].
Введём [pic] - функция n переменных.
Свойства [pic] :
1) [pic]- бесконечно дифференцируемая, финитная:

[pic].
2) [pic] - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

[pic].
3)[pic]
Доказательство.
[pic], С находится из условия [pic].
4) [pic].
Обозначим: [pic]
[pic][pic]
Интеграл по x бесконечно дифференцируем.
[pic]
Если [pic], то: [pic]
Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: [pic].
Если [pic], то [pic] : [pic].
Свойства функции [pic]:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] - срезающая функция.
Пространство [pic].
Определение.
Пусть [pic]. Назовём множество функций [pic], пространством [pic], если:
- [pic] - измеримы в Q;
- [pic] в смысле Лебега.
Вводится [pic]. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.
Утверждение (без доказательства).
[pic] - полное пространство.
Вводится [pic].
Свойства пространства [pic].
Теорема 1.
Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве [pic] :
[pic].
Доказательство.
Множество ступенчатых функций плотно в [pic].
Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в
[pic].
Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.
Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.
Доказать: характеристическую функцию [pic] можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.
[pic] [pic]
Рассмотрим [pic] - финитная, бесконечно дифференцируема в [pic].
[pic]
Значит, [pic].
[pic]
Аппроксимация получена.
Теорема 2.
Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве [pic].
Определение 2.
Пусть [pic] и считается продолженной нулем вне Q [pic]. Скажем: f - непрерывна в среднеквадратичном, если [pic]:
[pic].
[pic]
Теорема 3.
Любая функция из [pic] непрерывна в среднеквадратичном.
Доказательство.
Пусть [pic]. Пусть [pic]
[pic]
Оценим:
[pic]
При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.
[pic] [pic]
Теорема доказана.
Определение 3.
[pic]
[pic] - бесконечно дифференцируема, финитна.
[pic]
Свойства:
[pic]
[pic] - осреднение функции f.

Теорема 4.
[pic]
Любая функция из [pic] сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в [pic].
Доказательство.
[pic]
От Q к [pic], от [pic] к [pic]
[pic]
При [pic].

Возьмем любые две функции:
[pic]
Определение.
[pic]- множество функций, принадлежащих [pic] на любом компакте внутри области.
[pic]
Определение 1.
Пусть [pic]
[pic] - обобщённая производная функции f, если [pic] выполняется:
[pic] (1)
Теорема 1.
Обобщённая производная определяется единственным образом.
Доказательство.
Предположим противное: [pic] - обобщённые производные функции f.
[pic] (2)
[pic] (3)
(2),(3) - тождество для [pic]
[pic] - что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.
Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.
Ex 1.
[pic]
По определению:
[pic]
Пусть [pic] и [pic]
[pic]
|[pic] |

Ex 2.
[pic]
Покажем, что обобщённой производной не существует.
Пусть [pic], то:
[pic] где [pic]
[pic]
1) пусть [pic] носитель в [pic], то :

[pic]
2) пусть [pic] : [pic], значит:
[pic]
Вывод: [pic].
[pic]
Вывод: [pic], не имеет обобщённой производной.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки