Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

[pic]
По определению обобщённой производной в (1) получаем :
[pic] , тогда :
[pic]
Локальная гладкость обобщённых решений.
[pic]
[pic] ограниченная.
Обобщённое решение : [pic],
[pic] (3)
Теорема 1.
Для любого [pic] обобщённое решение u задачи (1) (2)
[pic] независимо от гладкости границы, если правая часть из [pic] , то обобщённое решение тоже гладко.
Доказательство.
[pic][pic]
[pic]
Достаточно доказать, что [pic] в каждом из шаров : [pic].
Обозначим [pic].
В качестве v для (3) возьмём :
[pic]
- финитная, бесконечно дифференцируемая.
[pic], v может быть использована как пробная :
Подставим v в (3) :
[pic]
(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )
[pic] (4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть [pic].
[pic].
[pic] (5)
Представим (5) в виде : [pic].
Оценим : [pic]
По неравенству Коши-Буняковского :
[pic]
[pic], где [pic].
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
[pic]
Результат : [pic]
[pic]

(6)
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : [pic]. u имеет обощённые производные [pic].
Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.
Теорема 2.
Пусть [pic] - ограничена, [pic] - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда
: [pic].
Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.
[pic]

(1)
[pic]

(2)
[pic]
[pic]

(3)
Теорема 1.
Пусть [pic] - ограниченная область : [pic]
[pic] - обобщённое решение (1) (2), тогда
[pic].
Доказательство.
[pic]
[pic]
Доказать, что [pic].
Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :
[pic]
Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.
Введём срезающую функцию :
[pic]
[pic]
Подставим v в (3), получим :
[pic] (4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть [pic].
[pic].
При этом : [pic].
[pic] (5)
Представим (5) в виде : [pic].
Через неравенство Коши-Буняковского, получим :
[pic], где [pic].
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
[pic]
[pic]
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : [pic]. u имеет обощённые производные [pic].
Лемма.
Пусть [pic] - обобщённое решение (1) (2), тогда :
[pic] - ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.
Будем считать : [pic].
[pic]
[pic]
Значит : [pic].
Теорема 2.
Пусть [pic] - ограниченная область, [pic] - обобщённое решение задачи (1)
(2), тогда : [pic].
Теорема "вложения" Соболева.
[pic]- ограниченная область, [pic], следовательно [pic] -непрерывно вложено.
Определение.
Непрерывность оператора наложения - это
[pic] почти всюду в Q .
[pic]

(1)
Доказательство (теоремы).
[pic], где [pic], если [pic], и :
[pic]

(2)
Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и
[pic]

(3)
Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой [pic] , то в этом случае теорема справедлива для [pic].
[pic];
[pic]; следует фундаментальность :
[pic]
[pic]
[pic]

(4)
(Замечание. Предел в смысле почти всюду : [pic] п.в.
Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в функций.
[pic]
Преобразование Фурье : [pic], где [pic].
[pic] умножим и разделим на [pic] и применим неравенство Коши-Буняковского.
[pic]
[pic]
Докажем, что интеграл конечен :
[pic]
[pic]
Где [pic].
Теорема полностью доказана.
Обобщённые и классические решения.
[pic]

(1)
[pic]

(2)
Функция [pic] - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).
Теорема 1.
Если [pic], то обобщённое решение [pic] обладает следующими свойствами :
[pic].
Доказательство.
Пусть [pic], тогда :
[pic]
Теорема 2.
Пусть [pic] - ограниченная область;
[pic], тогда обобщённое решение
[pic].
Доказательство. [pic]
Теорема 3.
Пусть [pic] - ограниченная область;
[pic], тогда обобщённое решение
[pic] и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения
Пуассона.
Доказательство. [pic], следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2).
Теорема 4.
Пусть [pic] - обобщенная собственная функция оператора [pic] с однородными условиями Дирихле, тогда: [pic].
Доказательство.
[pic]
Если [pic]
[pic]
По теореме вложения: [pic]

Задача Неймана для уравнения Пуассона.
[pic]
Определение.
Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:
[pic]

Пусть [pic] - ограниченная область.
Теорема 1.
Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е: [pic].
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:
1)[pic]
2) [pic] - компактный, самосопряженный, положительный оператор.
Доказательство - аналогично.
[pic]
Рассмотрим однородное уравнение: для однородной задачи (1) (2) [pic] имеет нетривиальное решение.
По определению обобщенного решения : [pic]
[pic]
Теорема доказана.

Рассмотрим уравнение:
[pic]
[pic]
Теорема 2.
1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для [pic].
2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда [pic] , где w - решение однородной сопряженной задачи.
3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.

Задача Неймана:
[pic]
Рассмотрим задачу на собственные значения:
[pic]Теорема 3.
1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:
[pic].
2. Соответствующие собственные функции [pic] составляют ортонормированный базис в [pic].
3. [pic] составляют ортонормированный базис в [pic].
Доказательство.
[pic]
Первая часть теоремы доказана.
По Гильберту-Шмидту строится [pic] - ортогональный базис в [pic] и пусть
[pic].
[pic]
[pic] - ортонормированный базис в [pic].
Теорема 3 доказана.
Задача Дирихле - однозначная разрешимость.

Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.
Пусть [pic] - правая часть уравнения. Пусть [pic] - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: [pic]
Доказательство - аналогично теореме 3.

Теорема 5.
Пусть граница [pic] ; пусть правая часть [pic] . [pic] - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: [pic].

Теорема 6.
Пусть граница [pic] ; правая часть - [pic] ; [pic] - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: [pic].
Доказательство.
Обобщенное решение: [pic] для [pic].
[pic]
Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:
[pic]

Метод Ритца.
Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.
Рассмотрим: [pic], где: l(u) - линейный, ограниченный функционал в [pic].
Найдем минимум квадратичного функционала:
[pic]
[pic]- конечное число.
Найдется [pic] такая, что: [pic] - минимизирующая последовательность.
[pic], такой, что: E(u)=d . u - минимизирующий элемент.
Теорема 1.
Существует единственный [pic], минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u :
[pic] .
Доказательство.
Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:
[pic]
Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":
[pic]
Доказано: последовательность [pic] - фундаментальная в полном пространстве, значит: [pic] и, значит :
[pic].
Доказано: если [pic] - минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу.
Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность: [pic].
Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.

Пусть [pic] составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в [pic], т.е. полная система, значит:
[pic] может быть аппроксимирован [pic].
Обозначим через [pic] - конечномерное подпространство [pic] , натянутое на первые k функций [pic].
Рассмотрим [pic] - задача сводится к конечномерной.
[pic], и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её: [pic]
Необходимое условие экстремума: [pic], тогда:
[pic], где i=1,...,k. (1)
Система алгебраических уравнений (1) имеет единственное решение, т.к. её определитель (Грама) отличен от 0.
[pic]
Обозначим решение [pic] , и: [pic]- монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала.
[pic]- последовательность Ритца.
Теорема 2.
Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементу u : [pic].
Доказательство.
Т.к. [pic] всюду плотна в [pic] , то: [pic] , такие что: [pic].
Рассмотрим значение [pic] :
[pic]
Таким образом: [pic] , и при :
[pic].
Теорема 3.
[pic] является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда [pic]
Доказательство.
Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем [pic] , то:
[pic] , т.к. u - минимизирующий. Обозначим через [pic] . Необходимое условие экстремума: [pic] .
[pic]
[pic] что и требовалось доказать.
Достаточность: пусть выполняется (2), то рассмотрим:
[pic], т.е. [pic] u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать.
Выводы.
1. Существует единственный минимизирующий элемент - предел минимизирующей последовательности ( последовательности Ритца).
2. Минимизация функционала связана с обобщенным решением краевой задачи.
3. Метод Ритца можно использовать для решения эллиптической задачи.

[pic]
[pic]
Примеры.
1. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]- интегральное тождество ( 4 )
(4) определяет обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
[pic]

Теорема 4.
1. Существует единственный [pic] , минимизирующий функционал в [pic] ;
[pic]- минимизирующая последовательность [pic]
2. Последовательность Ритца для функционала (3) в [pic] является минимизирующей.
3. [pic]является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).

2. Задача Неймана.
Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из [pic], где [pic] - замкнутое подпространство пространства [pic].
Обобщенное решение задачи (7)-(8) : [pic]
Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и: [pic].
Решение существует и единственно.
[pic]
Будем полагать : [pic], тогда:

Теорема 5.
1. Существует единственный [pic] , минимизирующий функционал в [pic] ;
[pic]- минимизирующая последовательность [pic]
2. Последовательность Ритца для функционала (10) в [pic] является минимизирующей.
3. [pic]является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).

Изучение классических решений эллиптических задач.
§1. Формула Грина.
[pic]- ограниченная область;
[pic]
[pic]
[pic]
Вычтем из первого второе:
[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рассказы чехова, территории реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки