Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7

[pic] (1) однородное уравнение [pic] (2) однородное сопряженное уравнение [pic] (3)
Теорема Фредгольма.
Теорема.
1. Если однородное уравнение (2) имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение для любой правой части из гильбертова пространства H.
2. Если уравнение (2) имеет нетривиальное решение, то тогда неоднородное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть уравнения
(1) ортогональна всем решениям уравнения (3) : [pic].
3. Размерность ядра оператора [pic] равна размерности оператора [pic] и конечна.
[pic].
Введём : [pic], тогда [pic].
Лемма 1.
[pic], [pic].
Доказательство.
Предположим противное : [pic].
Ядро - замыкает линейное подпространство.
[pic]
Следовательно единичный шар отображается на себя (в некомпактное множество), а оператор компактный.
Ядро - замыкание бесконечномерного подпространства Гильбертова пространства.
Имеем противоречие, доказывающее теорему.
Лемма 2.
[pic], [pic] - замкнуты в подпространстве.
Доказательство.
Пусть [pic]. Докажем, что [pic].
[pic].
Разложим [pic] на ортогональные составляющие.
[pic][pic], где [pic].
Значит : [pic] .
1). [pic] - ограниченная последовательность, следовательно можно выбрать подпоследовательность [pic] такую, что [pic]- сходящаяся.
Тогда : [pic]. В этом случае [pic] сходится в H.
[pic].
2). [pic] - неограниченная. Можно выбрать подпоследовательность [pic] такую, что:
[pic], тогда :
[pic], [pic].
[pic], [pic], [pic]
Из сходимости следует, что ненулевые элементы принадлежат ядру и ортогональному дополнению : [pic].
Лемма 3.
[pic]
Доказательство.(первая часть)
Пусть [pic], тогда : [pic].
Получили : [pic].
Пусть [pic], тогда : [pic].
[pic].
Значит : [pic].
Введём обозначения :
[pic]
Лемма 4.
[pic].
Доказательство.
Предположим противное : пусть такого k не существует.
[pic].
Возьмём n

Скачали данный реферат: Jazdovskij, Куклачёв, Яковенцев, Kurbatov, Францев, Artjomov.
Последние просмотренные рефераты на тему: тесты бесплатно, решебник 6, стратегия реферат, реферат эволюция.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки