Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Доказано: если [pic] , то: [pic] - решение.
[pic]
Второй этап.
[pic] то: [pic] -обобщенное решение смешанной задачи.
Третий этап.
Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.
Осуществляется предельный переход:
Оценим [pic] и их производные:
[pic]
[pic]
Докажем, что последовательность фундаментальна.
Пусть N>M ; рассмотрим :
[pic]
[pic]
[pic]
Значит [pic] -фундаментальная в [pic] - полном , т.е. [pic].
[pic]
Надо доказать, что u - обобщенное решение, если [pic] -обобщенное решение.
[pic]
[pic] ; при переходе к пределу получим:
[pic]

Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.

[pic] [pic]

(1)
[pic]

(2)
[pic] [pic]

(3)
[pic] [pic]

(4)
[pic] [pic]
[pic]
[pic]

Теорема 1.
Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения.
Доказательство.
Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.
[pic]
Возьмем:
[pic] где:[pic] - произвольная, [pic].
[pic]
Интегральное тождество приобретет следующий вид:
[pic]
[pic]Теорема доказана.

Анизотропные пространства Соболева.
Определение.
Анизотропным пространством Соболева [pic] называется множество функций
[pic].
Вводится скалярное произведение: [pic] (1)
Свойства пространств:
Теорема.
Пространство [pic] -полно.
Доказательство.
Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве.
Пусть [pic] через [pic].
Теорема 2.
[pic]

Теорема 3.
[pic]-сепарабельно.
Доказательство - продолжение функции до финитной.

Теорема 4.
[pic] [pic] всюду плотно в [pic]. Возьмем [pic]
[pic]
[pic]
Теорема 5.
Для [pic] можно определить след : [pic][pic] и при этом: [pic].

Обобщенные решения смешанной задачи для

уравнения теплопроводности.
[pic]
[pic]
Определение.
Обобщенное решение [pic]- называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если [pic]: [pic] выполняется интегральное тождество (4).

Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).
[pic]
[pic]- собственные значения;
[pic] - ортогональный базис в [pic];
[pic] - ортонормированный базис в [pic].
Будем считать: [pic]
[pic] при почти всех t интегрируема с квадратом в [pic].
Равенство Парсеваля:
[pic] f-измерима и [pic] по неравенству Гельдера. [pic].
По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами [pic].
[pic]
Решение имеет вид:
[pic]
Надо доказать сходимость в [pic].

Теорема.
[pic] ряд (6) сходится в пространстве [pic] к некоторой функции [pic], которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:
[pic]
Доказательство.
Первый этап.
Предположим, что правая часть уравнения имеет вид: [pic] , а начальная функция: [pic].
Рассмотрим:
[pic]
[pic]
[pic]
-интегральное тождество выполняется.

Второй этап.
[pic]
Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности [pic].
Оценим модуль:
[pic]
Интегрируем слева и справа:
[pic]
[pic]
Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:
[pic]
[pic]
Переходим к пределу:
[pic]
Надо доказать, что u - задает решение задачи.
[pic]
При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:
[pic]
Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.

Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
[pic]
Теорема.
Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения.
Доказательство.
Пусть [pic] -обобщенные решения, оценим[pic].
[pic]
[pic] - добавлена гладкость по t.
[pic]
Условия, налагаемые на v: [pic] .
[pic]
[pic]
[pic]

Формула Кирхгофа.
Дополнительные обозначения: пусть есть [pic] , [pic] - фиксируется. Обозначим : [pic]- конус с вершиной в [pic] .
[pic]
Возьмем произвольную [pic] .
Обозначим:
[pic]
[pic].
Выберем [pic] и рассмотрим : [pic] - вне цилиндра, но внутри конуса.
Обозначим через [pic] - часть конической поверхности, ограниченной [pic] :
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] - дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом :
[pic] - замыкание конуса.
Замечание: [pic] - волновой оператор.
Рассмотрим вспомогательную функцию: [pic].
Рассмотрим: [pic] . Заметим: [pic] .
В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром.
Проинтегрируем левую и правую части тождества по [pic] :
[pic] , где: - единичный вектор внешней нормали к границе области.
Разобьем этот интеграл на 3 интеграла: [pic]; потом [pic] .
Рассмотрим на конической поверхности [pic] интеграл [pic]
Вычислим все частные производные функции v по [pic] и по направлению внешней нормали к поверхности: [pic]
[pic]
[pic]
Зная, что [pic], получим: [pic], где: [pic]. Вывод: [pic].
Рассмотрим [pic] , зная, что для [pic].
[pic]
Переход к пределу:
[pic]

Вычислим: [pic] [pic] - внутренняя нормаль к цилиндру.
Т.к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:
[pic] [pic] учитывая: [pic] на цилиндрической поверхности.
[pic]
В силу оценки: [pic]
Получим: [pic]
[pic][pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Получена формула Кирхгофа:

(1)
| [pic] |

Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t):
[pic]
[pic]Продифференцировано первое слагаемое:

[pic]
[pic]
Геометрический смысл формулы.
1. В первых двух интегралах производится интегрирование по границе основания конуса - трехмерной сфере.
2. В третьем интеграле производится интегрирование по основанию конуса - трехмерному шару.
3. Значение даламбериана вычисляется интегрированием по боковой поверхности конуса.
СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x,t) выражается через значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан на боковой поверхности конуса.

Задача Коши для волнового уравнения.
Обозначим: [pic]
Определение.
Функция u(x,t) , такая, что:
1) [pic] - дважды непрерывно дифференцируемая на [pic] ;
2) [pic] - один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества; называется классическим решением задачи Коши для волнового уравнения, если:
[pic]
Пусть n=3.
Обозначим: [pic]
По формуле Кирхгофа функция u(x,t) выражается для любого конуса [pic] через функции [pic] в этом конусе. Функция u(x,t) однозначно определяется функциями [pic] в любом конусе и, значит, в полупространстве.
Теорема единственности.
Задача Коши (2)-(3) не может иметь более одного решения.
Вопрос существования.
Если классическое решение существует, то оно задается формулой Кирхгофа
(4):
[pic]
Таким образом, вопрос о существовании классического решения

сводится к нахождению условий, налагаемых на функции [pic] , при которых функция, стоящая в правой части формулы (4), является решением этой задачи.
Получено лишь достаточное условие.
Предварительные рассуждения.
Введем функцию: [pic]
Есть [pic] . Для каждого [pic] определяется [pic] как интеграл.
Производится исследование [pic] .
Лемма 1.
Пусть функция g и все её производные по пространственным переменным непрерывны до порядка k : [pic] , тогда:
1) функция и все её производные вплоть до порядка k по x и t непрерывны на множестве [pic] : [pic]
2) для [pic] и [pic] функция [pic] удовлетворяет однородному волновому уравнению при и следующим условиям:[pic]
Доказательство.
В (5) перейдем к новой переменной, тогда: [pic]
Отсюда следует первое утверждение леммы.
Применим [pic] к [pic] , тогда: [pic]
Подставим t=0: [pic] .
Возьмем производные по t от [pic] : [pic] .
Рассмотрим производную при t=0: [pic]
Преобразуем второе слагаемое: [pic] обозначим : [pic] тогда (7) примет вид: [pic] .
Используем его для вычисления второй производной по времени: [pic]
[pic]
Предствляя этот объемный интеграл в виде повторного интеграла: сначала по сфере, а затем от 0 до t, получим равенство: [pic] - вследствие формулы (6) справедливо последнее равенство.
Лемма доказана.
Теорема 2.
Пусть:
[pic] - трижды непрерывно дифференцируемая в [pic] : [pic] ;
[pic] - дважды непрерывно дифференцируема в [pic] : [pic] ;
[pic] - непрерывны : [pic] ; тогда: решение задачи Коши (2)-(3) существует и дается формулой Кирхгофа
(4).
Доказательство.
Рассмотрим второе слагаемое: [pic] в силу леммы 1 есть: [pic]
Рассмотрим первое слагаемое [pic] . T.к. [pic], то: [pic]
[pic] [pic]
Начальные условия: [pic] ; [pic] .
Рассмотрим: [pic], где: [pic] - обозначение.
В силу леммы 1 G и все её производные по x и t до второго порядка включительно непрерывны на множестве [pic] .
Функция G удовлетворяет: [pic]
Перейдем к F. F непрерывна вместе со всеми производными по x до второго порядка включительно в области [pic] , и её первая производная по времени непрерывна в этой области.
Вычислим производную F по t: [pic] но: [pic] , и: [pic] Следует: [pic] .
[pic] - удовлетворяет волновому уравнению: [pic]
[pic] - удовлетворяет однородным начальным условиям: [pic]
Окончательно: [pic] - удовлетворяет волновому уравнению [pic] и начальным условиям: [pic] .
Замечание.
Доказательство теоремы о существовании и единственности классического решения задачи Коши в случае, когда n=3, опиралось на интегральное представление функции в виде формулы Кирхгофа. Формулы, аналогичные формуле
Кирхгофа, можно вывести для произвольного числа пространственных переменных. Эти формулы дают выражение достаточно гладкой функции u(x,t) через её первые производные и даламбериан в конусе.
Пользуясь этим представлением, можно обобщить эти теоремы существования и единственности для произвольного числа переменных (n>3).
Замечание.
Формулы, аналогичные формулам Кирхгофа для n=1 и n=2, можно получить из n=3 методом спуска.

Метод спуска (как из формулы Кирхгофа получить формулы Пуассона и
Даламбера).
[pic]
Надо получить формулу Кирхгофа для n=2 - формулу Пуассона.
Обозначения: [pic]
Преобразуем интегралы:
[pic]
[pic] Рассмотрим: [pic]
Заменим [pic] .
Получим формулу:
[pic]
Получена формула Пуассона:
[pic]
Формула Даламбера:
[pic]
Обозначим: [pic].
Введём фундаментальное решение уравнения теплопроводности:
[pic]
Свойства U для уравнения теплопроводности.
1.[pic]
2.Если U продолжить тождественным 0 при [pic], то такая функция [pic] - бесконечно дифференцируема.
[pic]
Доказательство.
Если выписывать производные функции U, то получится рациональная функция, умноженная на экспоненту, экспонента стремится к 0 быстрее любой рациональной функции, значит, пределы все равны 0, и получена бесконечная гладкость.
3.[pic]
Доказательство.
[pic]
В качестве упражнения: [pic].
4.[pic] где [pic] - формула представления решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Дополнительные обозначения.
Пусть [pic], пусть u, Lu - ограничены в полосе.
Введём [pic], обладающую свойством: [pic]
[pic] - используются срезающие функции.
[pic] n - размерность постранства [pic].
N - определяет область интегрирования.
Будем считать:
[pic] - интегрирование по цилиндру.
[pic]
Сначала рассмотрим интеграл:
[pic]
Можно применить теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла:
[pic]
Т.к. [pic], то
[pic] произведём замену [pic] , тогда [pic]
[pic]
[pic].
Если докажем, что остальные пределы дают 0.
Формула Пуассона:
[pic]
[pic]
Можно найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности:
Рассматривается задача:
[pic] (1)
[pic] (2)
Если решение из рассматриваемого класса существует, то оно представляется формулой: [pic].
В рассматриваемом классе решений задача Коши для уравнения теплопроводности может иметь не более 1 решения.
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Применим теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
(необходимо, чтобы все элементы последовательности были ограничены интегральной функцией).
[pic] где : [pic].
Подынтегральная функция ограничена .
Так как : [pic], то :
[pic]
Замена :[pic].
[pic], а интеграл [pic] - сходящийся.
Сделано ограничение интегрируемой функцией.
Можно применять теорему Лебега о предельном переходе.
Теория Фредгольма.
(в Гильбертовом или Банаховом пространстве).
Рассмотрим компактный оператор [pic] гильбертово пространство.
Изучаем уравнение :

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рассказы чехова, территории реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки