Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Интегральное представление производной.
Определение.
Фундаментальное решение уравнения Лапласа:
[pic]
Следствие.
[pic]
Теорема 1.
Пусть [pic] - ограниченная область с границей класса [pic] .
Пусть [pic] , тогда:
[pic]
Доказательство.
Рассмотрим:
[pic] -- область без шара.
[pic]
[pic]

[pic]

Обозначим :
[pic]
Надо доказать, что : [pic].
Обозначим :
[pic] где : [pic] - площадь поверхности единичной сферы в n-мерном пространстве.
Учитывая, что:
[pic]

[pic]
Обозначим : [pic]
[pic]

Первая теорема о среднем.
Определение.
Функция u называется гармонической в области Q, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.
Пусть u(x) - гармоническая в [pic] .
D- ограниченная область [pic] .
[pic]
Теорема 1.
Пусть [pic] - гармоническая функция в Q , и пусть:
[pic], тогда :[pic]
Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому её значений на границе сферы.
Доказательство.
[pic]
Обозначим : [pic]
[pic]
[pic]

Вторая теорема о среднем.
Пусть [pic] - гармоническая в Q функция;
[pic], тогда : [pic]
Доказательство.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , что и требовалось доказать.

Принцип максимума.
Теорема.
[pic]- ограниченная, связная; u(x) - гармоническая в Q, непрерывная в [pic] , [pic], тогда:
[pic]
Доказательство.
Предположим противное: [pic], [pic].
Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает с M ,т.е. u-const. Возьмем [pic] и соединим ломанной l точки
Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: [pic]. Шары такие :
[pic] и [pic], причем: [pic] , [pic].
[pic]
[pic]
Если [pic] ,то: [pic] , [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Теорема доказана.

Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

[pic] [pic]

(1)
[pic] [pic]

(2)
[pic] - это не гарантирует существование решения. [pic]
Теорема.
Задача (1) (2) может иметь не более одного классического решения.
Доказательство.
Предположим противное: пусть есть два классических решения: [pic]. Это значит:
[pic] [pic] (3)
[pic] [pic] (4)
[pic] [pic] (5)
[pic] [pic] (6)
[pic] [pic] (7)
[pic] [pic] (8)
[pic]
Значит: [pic] и [pic]
Следовательно, если существуют два решения, то они равны друг другу. Что и требовалось доказать.

Обобщенные решения смешаной задачи для волнового уравнения.
[pic] [pic] (1)
[pic]

(2)
[pic] [pic]

(3)
[pic] [pic]

(4)
[pic]
[pic] [pic]
Обозначения: [pic]; [pic] .
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic] : [pic] , [pic]
Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:
[pic][pic] (5)
Хотя обобщенное решение - общее понятие, но классическое решение может не быть обобщенным.
Определение.
Обобщенное решение - функция u из [pic] - называется обобщенным решением задачи (1)-(4), если [pic] [pic] и для
[pic], такого, что [pic] и [pic] выполняется интегральное тождество (5).

Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.
[pic] [pic] (1)
[pic]

(2)
[pic] [pic]

(3)
[pic] [pic]

(4)
[pic], [pic] [pic]
[pic] [pic]

(6)
[pic]

(7)
[pic]- ограниченная область; [pic]
[pic] [pic], [pic], ... , [pic]
[pic] - базис, тогда: [pic]
[pic]
[pic] где: [pic]
[pic]
По теореме Фубини:
[pic]
[pic]
[pic](8)
Теорема.
[pic] [pic] [pic] ряд (8) сходится в пространстве [pic] и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка: [pic] (9)
Доказательство.
Первый этап.

Пусть: [pic]
Докажем, что тогда решение u(x,t) имеет вид:

[pic]
[pic]
(10)
[pic]

(11)
[pic]

(12)
[pic] при почти всех t [pic].
[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рассказы чехова, территории реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки