Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

где  , .

Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция (t), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: . С помощью фундаментальной матрицы (t) общее решение системы можно записать в виде . Фундаментальная матрица, обладающая свойством , называется нормированной при . Если  — нормированная при  фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде , где  — начальное при  значение решения.

1.2. Траектории автономных систем.

Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:          (2)

где функция f(x) определена в .

Автономные системы обладают тем свойством, что если  — решение уравнения (2), то , , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение  можно записать в виде . В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой , поэтому можно везде считать .

Пусть  — положение равновесия, т. е. . Для того чтобы точка  была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы . Предположим теперь, что траектория решения  не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют , такие, что . Так как  — не положение равновесия, то . Поэтому можно считать, что  при . Обозначим  и покажем, что  — -периодическая функция.

Действительно, функция  является решением уравнения (2) при , причем . В силу единственности  и  совпадают при всех . Применяя аналогичное рассуждение к решению , получим, что  определено при  и функции  и  совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить  на все , при этом должно выполняться тождество

,

то есть  — периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:

положение равновесия;

замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;

траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.

1.3. Предельные множества траекторий.

Определение. Точка  называется -предельной точкой траектории , , если существует последовательность  такая, что  при . Множество  всех -предельных точек траектории называется ее -предельным множеством. Аналогично для траектории  при  определяется понятие -предельной точки как предела , а также -предельного множества.

Определение. Траектория  называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн.  ()), если существует компакт  такой, что  при всех  (), при которых  определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства.

Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно.

Траектория  называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является -предельной и -предельной, т. е. . Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах.

Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае n = 2.

1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий.

2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.

3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при  к некоторому циклу.

4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории  нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от , спиралевидно приближаются к  при  или при .

Пример. Рассмотрим автономную систему при :

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по физике, работа реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки